Kezdőlap


Feladat:	C.597	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2001/április, 209. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Beírt kör, Derékszögű háromszögek geometriája, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/október: C.597

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A B C$ derékszögű háromszögben (a derékszög $C$ -nél van) jelölje a beírt kör középpontját $O_{1}$ , sugarát $r$ . Az $A$ körül írt kör középpontja, amely egyben az $A B$ oldal felezőpontja, $O_{2}$ . Az $O_{1}$ -ből az $A B$ -re bocsátott merőleges talppontja $T$ .
A $C O_{1} O_{2}$ háromszögben $O_{1} O_{2} = d$ , $C O_{2} = R$ és $C O_{1} = r \sqrt[]{2}$ . A háromszög-egyenlőtlenség szerint

\begin{matrix} R \leq d + 2 \sqrt[]{2} . \end{matrix}

(1)

O_{1} O_{2} T

derékszögű háromszögből

d \geq r

(egyenlőség csak akkor állhat fenn, ha

A B C

egyenlő szárú derékszögű háromszög). Ezt (1)-be helyettesítve

\begin{matrix} \begin{matrix} R \geq d + d \sqrt[]{2} = d \cdot (1 + \sqrt[]{2}), \\ ahonnan \\ d \geq \frac{R}{\sqrt[]{2} + 1} = R \cdot (\sqrt[]{2} - 1) . \end{matrix} \end{matrix}

Ezzel igazoltuk az állítást.