A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A háromjegyű szám számjegyei és 9 közé esnek, a százasok helyén nem állhat 0. Írjuk fel az első néhány szám faktoriálisát: | |
miatt 7, 8, 9 nem szerepelhet a számjegyek között.
miatt 6-os sem lehet köztük, mert akkor a százasok helyén legalább 7 kellene álljon, amit kizártunk.
Ha nem lenne 5-ös a számjegyek között, akkor az előbbiek szerint a három számjegy összege legfeljebb lehet, ami nem háromjegyű.
Három 5-ösből nem állhat a szám, mert .
Ha két 5-ös szerepelne a jegyek között, akkor a faktoriálisok összege legalább 241, legfeljebb 264, tehát a harmadik számjegy a százasok helyén álló 2-es kellene legyen, de .
Ha pedig egyetlen 5-ös szerepel a jegyek között, akkor a százasok helyén 1-es áll ( miatt). A számjegyek faktoriálisainak összege és közé esik. Így csak a 125, a 135 és a 145 jöhet szóba. Ezeket megvizsgálva kapjuk, hogy a feladatnak egyetlen megoldása van, a .
II. megoldás. Ha az egy háromjegyű szám, akkor jelölje az számot , az , , jegyek maximumát pedig . Ekkor nyilván , másrészt Így ha , akkor és , azaz és ezért . Ha , akkor , tehát az első jegye nagyobb, mint 6, erről pedig az imént láttuk, hogy nem lehetséges. Így az jegyeinek a maximuma 5. Ekkor nyilván ez pedig biztosan nem teljesül, ha . Ha , akkor , a feltétel pedig ahol . Ha és minimuma , akkor , és most így írható: Ha , akkor innen , ahonnan , azaz . Ekkor . Ha , akkor , és így tehát . Ez azt jelenti, hogy azaz . Mivel , innen és . Most (2)-ből | |
A még szóbajövő , 2, 3, 4 értékekre ez egy esetben teljesül, akkor, ha . Így egyetlen olyan háromjegyű szám van, amelyre , ez pedg a .
|