Kezdőlap


Feladat:	B.3384	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2001/március, 153 - 154. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/szeptember: B.3384

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a következő azonosságot:

\begin{matrix} \frac{a^{3}}{a^{2} + a b + b^{2}} = a - \frac{a^{2} b + b^{2} a}{a^{2} + a b + b^{2}} = a - \frac{a b (a + b)}{a^{2} + a b + b^{2}} . \end{matrix}

\frac{a b (a + b)}{a^{2} + a b + b^{2}} \leq \frac{a + b}{3}

mindig fennáll, mivel

a

b > 0

és

a^{2} + a b + b^{2} \geq 3 a b

, hiszen

\begin{matrix} (a^{2} + a b + b^{2}) - 3 a b = a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2} \geq 0. \end{matrix}

Tehát a betűk ciklikus cseréjével:

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{a^{3}}{a^{2} + a b + b^{2}} + \frac{b^{3}}{b^{2} + b c + c^{2}} + \frac{c^{3}}{c^{2} + a c + a^{2}} = \\ = a + b + c - \frac{a b (a + b)}{a^{2} + a b + b^{2}} - \frac{b c (b + c)}{b^{2} + b c + c^{2}} - \frac{a c (a + c)}{c^{2} + a c + a^{2}} \geq \\ \geq a + b + c - \frac{a + b}{3} - \frac{b + c}{3} - \frac{a + c}{3} = \frac{a + b + c}{3} . \end{matrix} \end{matrix}