A feladat szeptemberben közölt szövegéből véletlenül kimaradt, hogy a 17 pozitív prímszám mind különböző legyen. Ha ezt nem tesszük fel, akkor nem igaz az állítás. A most következő vizsgálódásból kiderül, milyen esetben igaz, és mikor nem, hogy ha 17 pozitív prímszám négyzetének összege négyzetszám, akkor a két legnagyobb négyzetének különbsége osztható a legkisebbel.
Ismeretes ‐ és könnyen ellenőrizhető ‐ az alábbi állítás.
$\left(*\right)$ A $3$-mal nem osztható számok négyzete $3$-mal osztva $1$-et ad maradékul.
Így, ha az adott prímek között nincsen 3-mal osztható ‐ azaz nincs ott maga a 3 ‐, akkor 17 darab 3-mal 1 maradékot adó szám összegeként nem kaphatunk négyzetszámot.
Számaink között tehát ott van a 3, és így e prímek legkisebbike a 2 vagy a 3. A feladat állítása most már azon múlik, hogy a két legnagyobb prím négyzetének a különbsége osztható-e 2-vel, illetve 3-mal.
Az előbbi csak akkor nem teljesül, ha a két legnagyobb prím egyike páros ‐ azaz 2 ‐, a másik pedig páratlan. Láttuk, hogy a 17 prím között szerepel a 3 is, így az állítás csak abban az esetben nem teljesül, ha a 17 szám közül 16 darab 2-vel egyenlő, a 17-edik pedig 3. E számok négyzetösszege, $16\cdot 4+9=73$ viszont nem négyzetszám, így ekkor a feltétel nem teljesül. A feladat állítása tehát minden további megszorítás nélkül igaz, ha az adott prímek legkisebbike a 2.
Hasonló jellegű feltételt kapunk abban az esetben is, ha a legkisebb előforduló prím a 3. A $\left(*\right)$ állítás miatt két szám négyzetének a különbsége akkor nem osztható 3-mal, ha két szám közül pontosan az egyik osztható 3-mal. Ez azt jelenti, hogy amennyiben a legkisebb prím a 3, akkor csak azt az esetet kell megvizsgáunk, amikor a két legnagyobb prím egyike szintén 3-mal egyenlő; így persze a további 14 értéke is 3.
Ekkor $p_1=p_2=\text{...}=p_{16}=3<p_{17}$. A feltétel most azt jelenti, hogy $16\cdot 3^2+p_{17}^2={12}^2+p_{17}^2=m^2$ valamilyen pozitív $m$ egészre. Rendezés után $p_{17}^2=m^2-{12}^2=\left(m-12\right)\cdot \left(m+12\right)$ adódik, és itt a tényezők nyilván pozitívak. Egy prímszám négyzete csak úgy írható két különböző pozitív szám szorzataként, ha a tényezők közül a kisebbik értéke 1. (A nagyobbik természetesen $p_{17}^2$.) Ez pedig lehetséges, hiszen ha $m=13$, akkor valóban egy prímszám, az 5 négyzetét kapjuk. A talált ‐ és a fentiek szerint az egyetlen ‐ ellenpélda: $p_1=p_2=\text{...}=p_{16}=3$ és $p_{17}=5$, e tizenhét prímszám négyzetösszege 144, és a két legnagyobb négyzetének különbsége, 16, nem osztható 3-mal, a legkisebbik előforduló prímszámmal.
A feladat állítása minden olyan kiegészítő feltétel esetén igaz lesz, amelyik a talált ellenpéldát kizárja. Ilyen feltétel nyilván sok adható, egy viszonylag természetesen hangzó megszorítás, ha föltesszük, hogy a 17 prím között nincsenek egyenlők.