A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A feladat szeptemberben közölt szövegéből véletlenül kimaradt, hogy a 17 pozitív prímszám mind különböző legyen. Ha ezt nem tesszük fel, akkor nem igaz az állítás. A most következő vizsgálódásból kiderül, milyen esetben igaz, és mikor nem, hogy ha 17 pozitív prímszám négyzetének összege négyzetszám, akkor a két legnagyobb négyzetének különbsége osztható a legkisebbel. Ismeretes ‐ és könnyen ellenőrizhető ‐ az alábbi állítás. A -mal nem osztható számok négyzete -mal osztva -et ad maradékul. Így, ha az adott prímek között nincsen 3-mal osztható ‐ azaz nincs ott maga a 3 ‐, akkor 17 darab 3-mal 1 maradékot adó szám összegeként nem kaphatunk négyzetszámot. Számaink között tehát ott van a 3, és így e prímek legkisebbike a 2 vagy a 3. A feladat állítása most már azon múlik, hogy a két legnagyobb prím négyzetének a különbsége osztható-e 2-vel, illetve 3-mal. Az előbbi csak akkor nem teljesül, ha a két legnagyobb prím egyike páros ‐ azaz 2 ‐, a másik pedig páratlan. Láttuk, hogy a 17 prím között szerepel a 3 is, így az állítás csak abban az esetben nem teljesül, ha a 17 szám közül 16 darab 2-vel egyenlő, a 17-edik pedig 3. E számok négyzetösszege, viszont nem négyzetszám, így ekkor a feltétel nem teljesül. A feladat állítása tehát minden további megszorítás nélkül igaz, ha az adott prímek legkisebbike a 2. Hasonló jellegű feltételt kapunk abban az esetben is, ha a legkisebb előforduló prím a 3. A állítás miatt két szám négyzetének a különbsége akkor nem osztható 3-mal, ha két szám közül pontosan az egyik osztható 3-mal. Ez azt jelenti, hogy amennyiben a legkisebb prím a 3, akkor csak azt az esetet kell megvizsgáunk, amikor a két legnagyobb prím egyike szintén 3-mal egyenlő; így persze a további 14 értéke is 3. Ekkor . A feltétel most azt jelenti, hogy valamilyen pozitív egészre. Rendezés után adódik, és itt a tényezők nyilván pozitívak. Egy prímszám négyzete csak úgy írható két különböző pozitív szám szorzataként, ha a tényezők közül a kisebbik értéke 1. (A nagyobbik természetesen .) Ez pedig lehetséges, hiszen ha , akkor valóban egy prímszám, az 5 négyzetét kapjuk. A talált ‐ és a fentiek szerint az egyetlen ‐ ellenpélda: és , e tizenhét prímszám négyzetösszege 144, és a két legnagyobb négyzetének különbsége, 16, nem osztható 3-mal, a legkisebbik előforduló prímszámmal. A feladat állítása minden olyan kiegészítő feltétel esetén igaz lesz, amelyik a talált ellenpéldát kizárja. Ilyen feltétel nyilván sok adható, egy viszonylag természetesen hangzó megszorítás, ha föltesszük, hogy a 17 prím között nincsenek egyenlők.
|