Kezdőlap


Feladat:	2000. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 12. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Győri Nikolett
Füzet:	2000/október, 387. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Algebrai egyenlőtlenségek, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/szeptember: 2000. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 12. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a 3 szorzótényező közül egy vagy három negatív, akkor a szorzat negatív, vagyis kisebb 1-nél. Ha valamelyik tényező 0, akkor a szorzat is 0, szintén kisebb 1-nél. Pontosan két tényező nem lehet negatív, mert ha például $a - 1 + \frac{1}{b} < 0$ és $b - 1 + \frac{1}{c} < 0$ lenne, akkor az összegük

\begin{matrix} 0 > a - 1 + \frac{1}{b} + b - 1 + \frac{1}{c} = (b - 2 + \frac{1}{b}) + a + \frac{1}{c} = \frac{{(b - 1)}^{2}}{b} + a + \frac{1}{c} > 0, \end{matrix}

mert

a

b

c > 0

, ez nem lehet.
Tehát az az eset marad, amikor mindhárom szorzótényező pozitív.

\begin{matrix} \begin{matrix} (a - 1 + \frac{1}{b}) (b - 1 + \frac{1}{c}) = a b - a + \frac{a}{c} - b + 1 - \frac{1}{c} + 1 - \frac{1}{b} + \frac{1}{b c} = \\ = \frac{1}{c} - a + \frac{a}{c} - b + 1 - \frac{1}{c} + 1 - \frac{1}{b} + a = \frac{a}{c} - b + 2 - \frac{1}{b} = \frac{a}{c} - \frac{{(b - 1)}^{2}}{b} \leq \frac{a}{c}, \end{matrix} \end{matrix}

ugyanígy a másik 2-2 tényezőre. Mindhárom tényező pozitív, tehát

\begin{matrix} \begin{matrix} (a - 1 + \frac{1}{b}) (b - 1 + \frac{1}{c}) (c - 1 \frac{1}{a}) = \\ = \sqrt[]{(a - 1 + \frac{1}{b}) (b - 1 + \frac{1}{c})} \sqrt[]{(b - 1 + \frac{1}{c}) (c - 1 + \frac{1}{a})} \sqrt[]{(c - 1 + \frac{1}{a}) (a - 1 + \frac{1}{b})} \leq \\ \leq \sqrt[]{\frac{a}{c}} \sqrt[]{\frac{b}{a}} \sqrt[]{\frac{c}{b}} = 1, \end{matrix} \end{matrix}

ezt akartuk bizonyítani.

Győri Nikolett (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 12. o.t.)