Feladat: 2000. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 11. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Harangi Viktor 
Füzet: 2000/október, 386 - 387. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Hatványvonal, hatványpont, Párhuzamos szelők tétele és megfordítása, Síkgeometriai bizonyítások, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2000/szeptember: 2000. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 11. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük az ábrát, jelölje F az AB és MN egyenesek metszéspontját. Mivel F rajta van az MN hatványvonalon, az F pontból a Γ1 és Γ2 körökhöz húzott érintőszakaszok hossza egyenlő. Ezek az érintőszakaszok az FA, illetve FB, így FA=FB.
Továbbá a párhuzamos szelők tétele szerint (PQ‖AB):
MPMQ=FAFB=1,vagyisMP=MQ.

Másrészt, AB‖CD miatt EAB∢=ECD∢, valamint a kerületi és érintőszárú kerületi szögek egyenlőségéből ECD∢=BAM∢. Következésképpen EAB∢=BAM∢, és hasonlóan kapjuk, hogy EBA∢=ABM∢.
Ezekből viszont az következik, hogy az AMBE négyszög deltoid. Emiatt EM⊥AB, azaz EM⊥PQ. És ezzel készen vagyunk, ugyanis az EMP és EMQ derékszögű háromszögek EM befogója közös, és a másik befogójuk is egyenlő (MP=MQ). Tehát egybevágó a két háromszög, amiből EP=EQ.
 Harangi Viktor (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 10., o.t.)