A keresett szám minden jegye legalább 1, ezeket a számokat tehát úgy kaphatjuk meg, ha az $n$-jegyű, csupa 9-esből álló szám jegyei közül néhányat csökkentünk úgy, hogy a csökkentések összege éppen 8. Így minden szóban forgó számhoz egyértelműen hozzárendelhető egy természetes számokból álló $n$ hosszúságú sorozat, amelyben az elemek összege 8.
Azt kell tehát meghatároznunk, hogy hányféleképpen lehet a 8-at $n$ darab nemnegatív egész szám összegére felbontani úgy, hogy különbözőnek tekintjük azokat a felbontásokat is, amelyek csupán a tagok sorrendjében térnek el.
Próbáljunk ténylegesen elkészíteni egy ilyen felbontást: ha egy nyolc egységnyi rudat az egész osztópontokon áthaladó $n-1$ darab vágással $n$ részre osztunk, akkor a sorozat elemeit az egymás után adódó részek hosszaként kapjuk. Az egyes osztópontokon több vágás is áthaladhat, ezek a sorozatban 0 értékű elemeket jelentenek az adott helyen.
Mivel a sorozat elején és végén is állhat 0, azért a 0, illetve a 8 egységnyi beosztáson áthaladó vágások is megengedettek. A feladat tehát az, hogy hányféleképpen lehet a 9 osztópont közül $\left(n-1\right)$-et kiválasztani, ha egy-egy osztópontot többször is kiválaszthatunk.
Mint ismeretes, ezek a kiválasztások éppen 9 elem $\left(n-1\right)$-osztályú ismétléses kombinációi, a számuk pedig $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9+n-2}{n-1}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+7}{n-1}\right)$. Ez azt jelenti, hogy $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+7}{n-1}\right)$ darab olyan $n$-jegyű szám van, amelyben a számjegyek összege $9n-8$.