Kezdőlap


Feladat:	B.3457	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ambrus Gergely
Füzet:	2001/december, 543. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Prímszámok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/április: B.3457

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje az egyenlet többszörös (legalább kétszeres) gyökét $- a$ (ami szükségképpen nempozitív). Ekkor

\begin{matrix} \begin{matrix} x^{4} + p^{2} x + q = {(x + a)}^{2} (x^{2} + b x + c) = (x^{2} + 2 a x + a^{2}) (x^{2} + b x + c) = \\ = x^{4} + (2 a + b) x^{3} + (2 a b + a^{2} + c) x^{2} + a (a b + 2 c) x + a^{2} c . \end{matrix} \end{matrix}

A megfelelő együtthatók összehasonlításából így
(1)

2 a + b = 0

, azaz

b = - 2 a

,
(2)

2 a b + a^{2} + c = 0

, így

c = 3 a^{2}

,
(3)

a (a b + 2 c) = p^{2}

, ezért

4 a^{3} = p^{2}

,
(4)

a^{2} c = q

, ebből pedig

3 a^{4} = q

.

(3)-ból és (4)-ből

\begin{matrix} 3^{3} p^{8} = 3^{3} {(p^{2})}^{4} = 3^{3} \cdot 4^{4} \cdot a^{12} = 2^{8} {(3 a^{4})}^{3} = 2^{8} q^{3} . \end{matrix}

Ez csak úgy lehet, ha

p = 2

és

q = 3

. Ekkor

a = 1

b = - 2

c = 3

, és valóban

x^{4} + 4 x + 3 = {(x + 1)}^{2} (x^{2} - 2 x + 3)

Ambrus Gergely (Szeged, Radnóti M. Gimn., 12. o.t.)