Kezdőlap


Feladat:	B.3449	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hablicsek Márton , Rácz Éva
Füzet:	2001/december, 541 - 542. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/március: B.3449

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $u, v$ az egyenlet egy megoldása, azaz $u^{2} - a v^{2} = - 1$ . Mivel $u$ és $v$ egyike sem nulla feltehető, hogy mindketten pozitívak. Legyen $n = u^{2} + a v^{2}$ és $k = 2 u v$ ; ekkor

\begin{matrix} n^{2} - a k^{2} = (u^{4} + a^{2} v^{4} + 2 a u^{2} v^{2}) - 4 a u^{2} v^{2} = {(u^{2} - a v^{2})}^{2} = 1. \end{matrix}

Ekkor

\begin{matrix} \begin{matrix} - 1 = (n^{2} - a k^{2}) (u^{2} - a v^{2}) = n^{2} u^{2} - a n^{2} v^{2} - a k^{2} u^{2} + a^{2} k^{2} v^{2} = \\ = {(n u + a k v)}^{2} - a {(n v + k u)}^{2} . \end{matrix} \end{matrix}

Ez azt jelenti, hogy az

u

v

párhoz hasonlóan az

u_{1} = n u + a k v

v_{1} = n v + k u

pár is megoldása az

x^{2} - a y^{2} = - 1

egyenletnek. Mivel az

u

v

n

k

számok mindegyike pozitív,

u < u_{1}

és

v < v_{1}

. Ezt folytatva, az

u_{1}

v_{1}

párból olyan

u_{2}

v_{2}

megoldást nyerhetünk, amelyre

u_{1} < u_{2}

v_{1} < v_{2}

és így tovább; a fennálló egyenlőtlenségek biztosítják, hogy a kapott megoldások mind különbözőek.
Hablicsek Márton(Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 9. o.t.) Rácz Éva(Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 10. o.t.)

Megjegyzés. Tekintsük az

r + s \sqrt[]{a}

alakú számokat, ahol

r, s

tetszőleges egészek. Mivel a feladat feltételei miatt

\sqrt[]{a}

irracionális, ez a felírás egyértelmű, és ilyen alakú számok szorzata is ilyen. A feladat állítása (és a fenti bizonyítás is) lényegében azon múlik, hogy az ilyen alakú számok normáját

N (r + s \sqrt[]{a}) : = (r + s \sqrt[]{a}) (r - s \sqrt[]{a}) = r^{2} - a s^{2}

-nek definiálva

\begin{matrix} N ((r_{1} + s_{1} \sqrt[]{a}) \cdot (r_{2} + s_{2} \sqrt[]{a})) = N (r_{1} + s_{1} \sqrt[]{a}) \cdot N (r_{2} + s_{2} \sqrt[]{a}) \end{matrix}

teljesül.