Kezdőlap


Feladat:	B.3437	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tran Thanh Long
Füzet:	2001/december, 535 - 536. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pont körre vonatkozó hatványa, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/február: B.3437

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A körök metszik egymást, mivel mindegyik belső pontként tartalmazza a másik egy húrjának végpontját. Ismeretes, hogy egy $P$ pontból egy körhöz húzott bármely szelőn állandó a szelő szakaszok szorzata. Ez a mennyiség a $P$ pont adott körre vonatkozó hatványa. Két nem koncentrikus kör esetén azon pontok halmaza, amelyeknek a két körre vonatkozó hatványa egyenlő, egy egyenes, a két kör hatványvonala. Ha a körök metszik egymást, akkor a hatványvonal a közös húr egyenese.

Jelöljük az

A C

szakasz felezőpontját

P

-vel.
Ekkor a

P

pontnak az

A C

húrral rendelkező körre vonatkozó hatványa:

\begin{matrix} A P \cdot P C = \frac{3}{2} A B \cdot \frac{3}{2} A B = \frac{9}{4} A B^{2}, \end{matrix}

míg a

P

pontnak a

B D

húrral rendelkező körre vonatkozó hatványa:

\begin{matrix} B P \cdot P D = \frac{1}{2} A B \cdot \frac{9}{2} A B = \frac{9}{4} A B^{2} . \end{matrix}

P

pontnak tehát egyenlő a két körre vonatkozó hatványa. Ezért

P

rajta van a hatványvonalon, tehát a közös húron is, hiszen

P

mindkét körnek belső pontja.

Tran Thanh Long (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 11. o.t.)