Kezdőlap


Feladat:	B.3434	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Reiczigel Zsófia
Füzet:	2001/december, 534 - 535. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Trapézok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/február: B.3434

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az alapokkal párhuzamos, az eredeti trapézt két érintőtrapézra osztó szakasz hossza $c$ . A két rész-trapéz hasonló egymáshoz, mert megfelelő szögeik páronként megegyeznek, és mindkét trapézba kör írható. Ezért megfelelő oldalaik aránya is megegyezik, vagyis $\frac{a}{c} = \frac{c}{b}$ , ahonnan $c = \sqrt[]{a b}$ adódik.

Mivel egy körhöz bármely külső pontból húzott két érintőszakasz egyenlő hosszú, a trapézok csúcsai és a beírt körök érintési pontjai közti, az ábrán azonosan jelölt szakaszok hossza megegyezik. Az ábra jelöléseit használva a trapéz kerülete:

\begin{matrix} K = a + (x + z + v + y) + b + ((b - y) + (c - v) + (c - z) + (a - x)) = 2 (a + b + c) . \end{matrix}

c

-re kapott értéket behelyettesítve kapjuk, hogy az eredeti trapéz kerülete

2 (a + b + \sqrt[]{a b})

Reiczigel Zsófia (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., 12. o.t.) dolgozata alapján