Kezdőlap


Feladat:	C.629	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Blaskó Ján
Füzet:	2001/december, 528 - 529. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Oszthatóság, Prímtényezős felbontás, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/április: C.629

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a számok $a_{1}$ , $a_{2}$ , $...$ , $a_{13}$ . Feltétel szerint $a_{1} + a_{2} + ... + a_{13} = 6 N$ . Vonjuk ki a számok 13. hatványának összegéből a számok összegét:

\begin{matrix} \begin{matrix} a_{1}^{13} - a_{1} + a_{2}^{13} - a_{2} + ... + a_{13}^{13} - a_{13} + a_{1} + a_{2} + ... + a_{13} = \\ = a_{1} (a_{1}^{12} - 1) + a_{2} (a_{2}^{12} - 1 + ... + a_{13} (a_{13}^{12} - 1) + 6 N . \end{matrix} \end{matrix}

Általában igaz, hogy

\begin{matrix} \begin{matrix} a (a^{12} - 1) = a (a^{6} - 1) (a^{6} + 1) = a (a^{2} - 1) (a^{4} + a^{2} + 1) (a^{6} + 1) = \\ = a (a + 1) (a - 1) [(a^{4} + a^{2} + 1) (a^{6} + 1)] . \end{matrix} \end{matrix}

Láthatjuk, hogy minden egyes tagban kiemelhető egy

a_{i} (a_{i} + 1) (a_{i} - 1)

alakú szorzat. Ez pedig nem más, mint 3 egymás után következő szám szorzata, ami mindig osztható 6-tal.
Mivel a tagok mindegyike osztható 6-tal, így az egész összeg is.

Blaskó Ján (Budapest, Szlovák Gimn., 10. o.t.)

Megjegyzés. A megoldás lényege az, hogy egy szám 13-dik hatványa ugyanazt a maradékot adja 6-tal osztva, mint maga a szám. Ez az állítás a megoldásban felírt algebrai azonosság mellett esetszétválasztással vagy az Euler‐Fermat-tétel segítségével is bizonyítható. Ennek a 6-ra vonatkozó esete azt jelenti, hogy tetszőleges

n

számra

n^{3}

és

n

ugyanazt a maradékot adják 6-tal osztva. Ebből az

a^{13} = a \cdot a^{3} \cdot {(a^{3})}^{3}

és

a \cdot a \cdot a^{3}

, továbbá

a \cdot a \cdot a = a^{3}

, illetve

a

ugyanazt a maradékot adják 6-tal osztva.