Kezdőlap


Feladat:	3440. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Börzsönyi Ádám , Geresdi Attila , Tóth Sándor
Füzet:	2001/november, 504 - 505. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Rugalmas erő, Körmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/május: 3440. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Súrlódás hiányában a rendszer mechanikai energiája (a korong mozgási energiájának és a rugóban tárolt rugalmas energiának az összege) állandó. Ugyancsak megmaradó mennyiség a rugó rögzített végpontjára vonatkoztatott perdület (impulzusmomentum) is, hiszen a rugó centrális erőt fejt ki a korongra.
Amikor a rugó megnyúlása a legnagyobb, a sebessége ( $v$ ) éppen merőleges a rugóra, így a perdület megmaradása alapján

\begin{matrix} m l_{0} v_{0} = m (l_{0} + Δ l) v . \end{matrix}

Ugyanakkor az energia-megmaradás tétele szerint

\begin{matrix} \frac{1}{2} D {(Δ l)}^{2} + \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} . \end{matrix}

Innen a rugóállandó:

\begin{matrix} D = m v_{0}^{2} \frac{(2 l_{0} + Δ l)}{Δ l {(l_{0} + Δ l)}^{2}} \approx 20 \frac{m v_{0}^{2}}{l_{0} Δ l} . \end{matrix}

A korong tömegközéppontjának mozgása jó közelítéssel egy

\begin{matrix} ω = \frac{v_{0}}{l_{0} + Δ l / 2} \end{matrix}

szögsebességű (csaknem egyenletes) körmozgásra és sugár irányban

T = 2 π \sqrt[]{m / D}

periódusidejű harmonikus rezgőmozgásra bontható. A rezgés egy periódusa alatt a rugó szögelfordulása

\begin{matrix} Φ = 2 π \sqrt[]{\frac{m}{D}} \cdot \frac{v_{0}}{l_{0} (1 + \frac{1}{20})} = \frac{2 π}{\sqrt[]{20} (1 + \frac{1}{20})} \approx \frac{2 π}{4, 7} . \end{matrix}

A korong középpontja tehát egy

l_{0}

belső és

l_{0} + Δ l = 1, 1 l_{0}

külső sugarú körgyűrűben periodikusan ki-be mozog, pályája azonban nem zárt görbe, mert egy körülfordulás alatt

4, 7

(tehát nem egész számú) rezgést végez. Ezt a (közelítő feltevések után kapott) eredményt (más jellegű, de ugyancsak közelítést tartalmazó) számítógépes szimulációval is ellenőrizhetjük. A korong mozgását nagyon kis részekre bontva és egy-egy ilyen szakaszon a korong gyorsulását állandónak tekintve számítógéppel meghatározhatjuk a (közelítő) pályagörbét. A számítás eredménye azt mutatja, hogy a rugó egy körülfordulása alatt a korong sugár irányban majdnem 5 rezgést végez, és a pálya ‐ legalábbis a számítógép által követett időtartam alatt ‐ nem záródik.

Börzsönyi Ádám (Hódmezővásárhely, Bethlen G. Gimn., 12. o.t.),

Geresdi Attila (Pécs, Árpád Fejedelem Gimn., 11. o.t.) és

Tóth Sándor (Csongrád, Batsányi J. Gimn., 10. o.t.) dolgozata alapján