|
Feladat: |
B.3418 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Babos Attila , Balka Richárd , Béky Bence , Bóka Gergely , Herczegh Attila , Jelitai Kálmán , Kármán Péter , Kiss-Tóth Christián , Kocsis Albert Tihamér , Kőrizs András , Körtvélyessy Csaba , Maga Péter , Nagy 444 Zoltán , Nagy Ádám , Pogátsa Attila , Reiss Attila , Somogyi Dávid , Szekeres Balázs , Ta Vinh Thong , Tábor Áron , Takács Gergő , Tóth Ágnes , Tran Thanh Long , Zalán Péter |
Füzet: |
2001/november,
474 - 477. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszög területe, Harmonikus közép, Geometriai egyenlőtlenségek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2000/december: B.3418 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Az állítást először a nem hegyesszögű háromszögekre látjuk be. Legyen például . Ekkor -nak a oldal felezőpontjára való tükörképe a körülírt körre vagy annak belsejébe esik (1. ábra). Így az háromszög tartalmazza az -vel egybevágó háromszöget, ezért a területe legalább . Ha hegyesszögű, akkor az magasságpont a belsejébe esik, és ‐ mint ismeretes ‐ bármelyik oldalra vagy oldalfelező pontra való tükörképe a körülírt körön van. Jelölje az tükörképét a -re , az -re pedig (2. ábra). Mivel az egyenes elválasztja az , pontokat, azért az (rövidebb) körívre esik. Így -nek a -től való távolsága legalább akkora, mint -nak (illetve -nak) a távolsága -től. Ezért az háromszög területe legfeljebb akkora, mint az háromszögé, és pontosan akkor egyenlők, ha , azaz . Hasonlóan kapjuk, hogy és . A három egyenlőtlenséget összegezve a bizonyítandó állítást kapjuk, és az is látszik, hogy csak szabályos háromszögre van egyenlőség.
Nagy Ádám (Budapest, Szent István Gimn., 12. o.t.) |
II. megoldás. Jelöljük a háromszög oldalait , , -vel, súlyvonalait pedig , , -vel. Legyen a oldal felezőpontja , az -ból, illetve -ből a egyenesre bocsájtott merőlegesek talppontjai pedig , illetve . Az és a háromszögek hasonlóak, mert -nél lévő szögük csúcsszögek, továbbá , mert azonos íven nyugvó kerületi szögek (3. ábra). Ezért megfelelő oldalaik aránya megegyezik, tehát | | Az és derékszögű háromszögek is hasonlóak, hiszen megfelelő szögeik egyenlőek. Így , azaz | | (1) |
Az , illetve szakaszok az , illetve az háromszögek oldalhoz tartozó magasságai, ezért az ismert területképlet szerint Ezt behelyettesítve (1)-be és ismét alkalmazva a területképletet, kapjuk, hogy | |
Felhasználva az ismert összefüggést, innen Ugyanígy felírható és is. A bizonyítandó állítás tehát | | Mivel , azért azt kell megmutatnunk, hogy | | A számtani és a harmonikus közepek közti egyenlőtlenség szerint ha , , pozitív számok, akkor Az egyenlőtlenséget az , és számokra felírva, ezután felhasználva, hogy egy pozitív számnak és a reciprokának az összege legalább 2, kapjuk, hogy | | Ezzel a feladat állítását beláttuk, s bizonyításunkból az is látszik, hogy egyenlőség akkor és csak akkor van, ha , azaz ha szabályos háromszög.
Balka Richárd (Sárvár, Tinódi S. Gimn., 12. o.t.) dolgozata alapján |
|
|