Kezdőlap


Feladat:	B.3435	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szalay Zsófia
Füzet:	2001/október, 406 - 407. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/február: B.3435

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 2., 3., $...$ , $k$ . egyenleteket összeadva:

\begin{matrix} \begin{matrix} x_{k}^{2} - x_{1}^{2} & = 3 + 5 + ... + (2 k - 1) = k^{2} - 1, \\ ezért \\ x_{k} & = \sqrt[]{x_{1}^{2} + k^{2} - 1}; \end{matrix} \end{matrix}

x_{1}

tehát az összes többi ismeretlen értékét egyértelműen meghatározza. Ha

x_{1} = 1

, akkor ennek alapján

x_{k} = k

(minden

2 \leq k \leq 100

-ra, sőt

k = 1

-re is); könnyen látható, hogy ez valóban megoldása az egyenletrendszernek. Ha

x_{1} < 1

, akkor

x_{k} = \sqrt[]{x_{1} + k^{2} - 1} < k

, ezért

\begin{matrix} x_{1} + x_{2} + ... + x_{100} < 1 + 2 + ... + 100 = 5050; \end{matrix}

ilyen megoldás tehát nincs. Hasonlóan

x_{1} > 1

esetén

x_{k} > k

, az első egyenlet ismét nem teljesül, hiszen ekkor

x_{1} + x_{2} + ... + x_{100} > 5050

. Tehát az egyetlen megoldás:

x_{1} = 1

x_{2} = 2

...

x_{100} = 100

Szalay Zsófia (Budapest, Szt. István Gimn., 11. o.t.)