Akárhogyan választunk is ki $k-1$ pénztárost, van olyan zár, amelyikhez egyiküknek sincs kulcsa; a többi $n-k+1$ pénztáros mindegyike rendelkezik ehhez a zárhoz való kulccsal. Így az $n$ pénztáros minden $k-1$ elemű részhalmazához tartozik (legalább) egy zár, amelyet egyikük sem tud kinyitni, és különböző $\left(k-1\right)$-es halmazokhoz különböző az ily módon hozzárendelt zár. A zárak száma tehát legalább annyi, mint a $k-1$ elemű (pénztáros) részhalmazok száma, vagyis $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-1}\right)$.
Megmutatjuk, hogy ez a becslés éles, azaz $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-1}\right)$ zár esetén létezik a kulcsoknak olyan kiosztása, amelyre a feladat feltételei teljesülnek. Számozzuk meg a zárakat 1-től $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-1}\right)$-ig, és lássuk el ugyanezekkel a sorszámokkal a pénztárosok $n$ elemű halmazának $k-1$ elemű részhalmazait. Tekintsük a következő elosztást: egy pénztáros pontosan akkor kapjon kulcsot az $i$-edik sorszámú zárhoz, ha nem tartozik hozzá az $i$-edik sorszámmal jelölt részhalmazhoz. Ekkor semelyik $k-1$ pénztáros sem tudja a páncélszekrényt kinyitni, hiszen az ő halmazuk sorszámával jelölt zárhoz egyiküknek sincs kulcsa. Viszont $k$ pénztáros között már mindegyik kulcsnak akad gazdája, hiszen (minden $i$-re) az $i$-edik zárhoz kulccsal nem rendelkezők száma pontosan $k-1$.