Kezdőlap


Feladat:	B.3429	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bóka Gergely
Füzet:	2001/október, 405 - 406. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényegyenletek, Abszolútértékes függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/január: B.3429

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nyilván $\frac{1}{q} > | f (0) |$ , ezért $f (0) = 0$ . Az $f$ függvény értéke minden más helyen pozitív egész, hiszen $f (n) = 0 < n$ esetén

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{1}{q} > | f (n) - q n | = | - q n | \end{matrix} \end{matrix}

szerint

n < \frac{1}{q^{2}} < 1

, ami lehetetlen.

Könnyen ellenőrizhető továbbá, hogy

q (q - 1) = \frac{\sqrt[]{5} + 1}{2} \cdot \frac{\sqrt[]{5} - 1}{2} = 1

. Így tetszőleges

n

természetes számra

\begin{matrix} \begin{matrix} | f (f (n)) - f (n) - n | = | f (f (n)) - q f (n) + (q - 1) f (n) - q (q - 1) n | = \\ = | f (f (n)) - q f (n) + (q - 1) (f (n) - q n) | . \end{matrix} \end{matrix}

A minden

a

b

valós számra teljesülő

| a + b | \leq | a | + | b |

egyenlőtlenség szerint az előbbi abszolút érték legfeljebb

\begin{matrix} | f (f (n)) - q f (n) | + | (q - 1) (f (n) - q n) | = | f (f (n)) - q f (n) | + (q - 1) | f (n) - q n |, \end{matrix}

ami a feladat feltétele szerint

\frac{1}{q} + (q - 1) \frac{1}{q} = 1

-nél kisebb. Tehát

| f (f (n)) - f (n) - n | < 1

, ami csak az

f (f (n)) - f (n) - n = 0

esetben állhat fenn, hiszen

f (f (n))

f (n)

és

n

egészek.

Bóka Gergely (Szolnok, Verseghy Ferenc Gimn., 10. o.t.)