Feladat:	B.3422	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Danyi Barbara
Füzet:	2001/október, 403. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/január: B.3422

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\multicolumn{2}{c}{\text{<div style="line-height: -3mm"> </div>}}\\ \hfill {\displaystyle 7^{2001}-3^{3335}=7^{3\cdot 667}-3^{5\cdot 667}={\left(7^3\right)}^{667}-{\left(3^5\right)}^{667}=}\\ \hfill {\displaystyle =\left(7^3-3^5\right)\left[{\left(7^3\right)}^{666}+{\left(7^3\right)}^{665}\cdot 3^5+{\left(7^3\right)}^{664}\cdot {\left(3^5\right)}^2+\text{...}+{\left(3^5\right)}^{666}\right]=}\\ \hfill {\displaystyle =\left(343-243\right)\left[7^{3\cdot 666}+7^{3\cdot 665}\cdot 3^5+7^{3\cdot 664}\cdot 3^{3\cdot 2}+\text{...}+3^{5\cdot 666}\right]=}\\ \hfill {\displaystyle =100\cdot \left(7^{3\cdot 666}+7^{3\cdot 665}\cdot 3^5+7^{3\cdot 664}\cdot 3^{3\cdot 2}+\text{...}+3^{5\cdot 666}\right)\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ Tehát $7^{2001}-3^{3335}$ valóban osztható 100-zal.  Danyi Barbara (Salgótarján, Táncsics M. Közg. és Ker. Szki., 12. o.t.) megoldása alapján   Megjegyzés. A megoldók többsége az ismert $a-b\mid a^n-b^n$ összefüggést használta. Ezenkívül néhányan a végződések periodicitását vizsgálták (a 7 hatványaiban 4-esével, a 3 hatványaiban 20-asával ismétlődik az utolsó két számjegy).