Feladat: C.611 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Pajna Gabriella 
Füzet: 2001/október, 398 - 399. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Algebrai egyenlőtlenségek, Természetes számok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2001/január: C.611

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ötjegyű abcde¯ számot 9-cel megszorozva az ugyancsak ötjegyű edcba¯ számot kapjuk, ami csak úgy lehetséges, ha a értéke 1.
Azaz 1bcde¯⋅9=edcb1¯, amiből következik, hogy e=9, mert egyetlen olyan (egyjegyű) szám van, amit 9-cel szorozva a szorzat 1-re végződik, és ez a 9.
Egyenlőségünk a következő alakba írható:

9⋅104+9⋅103⋅b+9⋅102⋅c+9⋅10⋅d+81=9⋅104+103⋅d+102⋅c+10⋅b+1.
Rendezés után:
899b+80c+8=91d.(1)
Mivel d legalább 1 és legfeljebb 9, azért
91≤899b+80c+8≤819.
Innen következik, hogy b=0 lehet csak, és (1)-ből
80c+8=8(10c+1)=91d.
A bal oldal osztható 8-cal, így a jobb oldal is, és mivel 91 páratlan, azért d-nek kell 8-cal oszthatónak lennie, így d≤9 miatt d=8. Akkor pedig 80c+8=728, és így c=9.
Az ötjegyű szám tehát: 10989. Valóban 10989⋅9=98901; a feladatnak ez az egyetlen megoldása van.
 Pajna Gabriella (Debrecen, Tóth Á. Gimn., 11. o.t.)

 
Megjegyzés. A kezdeti feltételekből következik, hogy a keresett szám osztható 9-cel, hiszen a szorzat osztható 9-cel, a jegyei összege pedig egyenlő az eredeti szám jegyeinek összegével. Ha már tudjuk, hogy 1bcd9¯⋅9=9dcb1¯, akkor ebből b csak 0 vagy 1 lehet, különben keletkezne maradék a 4. helyiértéken. Ha b=1, akkor viszont d=7, mert csak 7⋅9+8 esetén lesz 1 az egyesek helyén álló számjegy. Ekkor a+b+c+d+e=1+1+c+8+9=19+c, ami csak c=8 esetén osztható 9-cel, de 11889⋅9≠98811. Ha viszont b=0, akkor d=8 kell legyen, mert csak 8⋅9+8 végződik 0-ra. 1+0+c+8+9=18+c miatt c=9. Valóban, 10989⋅9=98901.