Kezdőlap


Feladat:	3403. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Geresdi Attila , Mics Zoltan
Füzet:	2001/szeptember, 372 - 375. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Űrszondák, Egyéb (Kepler-törvényekkel kapcsolatos), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/január: 3403. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A legkisebb energiát igénylő pálya megkeresésekor két szempontot is figyelembe kell vegyünk:
(i) A Mars elérésekor a szondának feltehetően marad még mozgási energiája, ez annál nagyobb, minél ,,kerekebb'' a pálya.
(ii) Az űrszondát a Földhöz képest kell felgyorsítani, így a Föld sebessége segítheti, de nehezítheti is a pályára állást.
Az optimális átszállópálya nyilván olyan, hogy a Mars pályáját csak érinti, azaz a sebességnek ott csak érintőleges komponense van. A vizsgálandó pályákat jól jellemezhetjük a szonda $N$ perdületével (impulzusmomentumával), ami a szonda tömegének, a Marsnál mérhető (de az állócsillagokhoz viszonyított) sebességnek és a Mars pályasugarának a szorzata! (Az $N$ a pályára jellemző állandó, míg a szonda sebessége a pálya mentén pillanatról pillanatra változik!) A szonda energiája kifejezhető a perdülettel és a Mars $R$ pályasugarával:

\begin{matrix} E (N) = - f \frac{M m}{R} + \frac{N^{2}}{2 m R^{2}} . \end{matrix}

Itt

M

a Nap tömege,

m

az űrszonda tömege,

f

pedig a Newton-féle gravitációs állandó.

E (N)

kifejezhető a pálya

a

fél-nagytengelyével is:

\begin{matrix} E (N) = - \frac{f M m}{2 a}, \end{matrix}

így összefüggést kapunk az

N

és

a

között. Eszerint amíg

\begin{matrix} N < \sqrt[]{\frac{2 f M m^{2} r R}{R + r}} = N_{0} \end{matrix}

(ahol

r

a Föld pályasugara), addig

a < (R + r) / 2

, azaz az

N

-nel jellemzett pálya metszi a Földét, míg az

N_{0}

-hoz tartozó pálya éppen érinti azt (1. ábra), az

N > N_{0}

esettel pedig egyáltalán nem kell foglalkoznunk, mert ilyen pályára a Földről nem indíthatunk űrszondát.
Legyen a Föld pályájának és az ,,átszálló pályának'' metszéspontjában a Föld sebességének nagysága

v

, az űrszondáé

u

, a pályák érintői által bezárt szög pedig

α

(2. ábra).
A szonda Földhöz képest (!) mérhető sebességének a Föld sebességével párhuzamos és arra merőleges komponensei rendre

u_{1} = u cos α - v

és

u_{2} = u sin α

. Ennek megfelelően az energiaszükséglet

\begin{matrix} E_{gy} = \frac{1}{2} m [u_{1}^{2} + u_{2}^{2}] = \frac{1}{2} m [{(u cos α - v)}^{2} + {(u sin α)}^{2}] = \frac{1}{2} m (u^{2} + v^{2} - 2 v u cos α) . \end{matrix}

A szonda impulzusmomentuma segítségével

u^{2}

is és

u cos α

is megadható:

\begin{matrix} \frac{1}{2} m u^{2} = f \frac{M m (R - r)}{R r} + \frac{N^{2}}{2 m R^{2}}, illetve m u cos α = \frac{N}{r}, \end{matrix}

így a minimalizálandó energia

\begin{matrix} \begin{matrix} E_{gy} (N) = f \frac{M m (R - r)}{R r} + \frac{N^{2}}{2 m R^{2}} - \frac{v N}{r} + \frac{1}{2} m v^{2} = \\ = \frac{1}{2 m R^{2}} {(N - \frac{m v R^{2}}{r})}^{2} + f \frac{M m (R - r)}{R r} - \frac{m v^{2} R^{2}}{2 r^{2}} . \end{matrix} \end{matrix}

3. ábra

Ez a kifejezés

N

-nek kvadratikus függvénye, melynek

\begin{matrix} N^{*} = \frac{m v R^{2}}{r} \end{matrix}

értéknél van minimuma, így az az

N < N^{*}

értékekre monoton csökkenő. Mivel

N_{0} < N^{*}

0 < N \leq N_{0}

pályák közül az

N = N_{0}

pálya az optimális (3. ábra). Ezt a pályát Hohmann-ellipszisnek is nevezik.

N = N_{0}

mellett a pálya nagytengelye éppen

R + r

, azaz az átszállópálya nemcsak a Mars pályáját, de a Földét is érinti, és a két érintési pont a szonda pálya-ellipszis nagytengelyének két átellenes végpontja.

N_{0}

értékét behelyettesítve némi átalakítások után

\begin{matrix} E_{gy} = f \frac{M m}{r} {(\sqrt[]{\frac{R}{R + r}} - \frac{1}{\sqrt[]{2}})}^{2}, \end{matrix}

amiből a szükséges kezdősebesség

\begin{matrix} v_{rel} = \sqrt[]{2 E_{gy} / m} = 2, 9 km/s . \end{matrix}

Ekkora sebességgel kell rendelkezzék a szonda a Földhöz képest ,,a Föld gravitációs terének elhagyása'' (vagyis a Földtől való számottevő eltávolodása) után. Az űreszköz sebessége a Föld felszínének közelében természetesen ennél nagyobb kell legyen, hiszen a számolás során a Föld gravitációs terét nem vettük figyelembe; ez a tény azonban a fenti megfontolásokat, az optimális pálya meghatározását nem érinti.
Hátra van még annak meghatározása, hogy milyen helyzetben kell legyen a Mars az űreszköz indításakor. Jelöljük a szonda keringési idejét

T

-vel, a Marsét pedig

T_{M}

-mel. A szonda éppen

T / 2

ideig repül, ennyivel kell a kilövéskor a Marsnak a találkozási ponthoz (A Földdel átellenes ponthoz) képest lemaradni. Eszerint a kilövéskor a Föld‐Nap‐Mars szög

\begin{matrix} π (1 - \frac{T}{T_{M}}) = π [1 - {(\frac{R + r}{2 R})}^{3 / 2}] = 0, 774 rad = 44, 3^{\circ} . \end{matrix}

Geresdi Attila (Pécs, Árpád Fejedelem Gimn., 11. o.t.) és

Mics Zoltán (Ipolyság, Magyar Tanítási Nyelvű Gimn., 12. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzés. A Hohmann-ellipszis a Földről indítható és a Mars pályáját elérő űrszonda-pályák közül a legnagyobb (!) energiájú, viszont ebben az esetben lehet a legjobban kihasználni a Föld sebességét a szonda pályára állításakor.

(W. F.)