Feladat:	B.3426	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Zavarkó Gábor
Füzet:	2001/szeptember, 355. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Polinomok oszthatósága, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/január: B.3426

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. A binomiális tétel szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x^{2001}}& {\displaystyle ={\left(\left(x+1\right)-1\right)}^{2001}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle ={\left(x+1\right)}^{2001}-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2001}{1}\right){\left(x+1\right)}^{2000}+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2001}{2}\right){\left(x+1\right)}^{1999}-\text{...}+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2001}{2000}\right)\left(x+1\right)-1.}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Az utolsó két tag kivételével mindegyik tag osztható ${\left(x+1\right)}^2$-nel, ezért a maradék az utolsó két tag összege, $2001\left(x+1\right)-1=2001x+2000$.  Zavarkó Gábor (Miskolc, Földes F. Gimn., 11. o.t.)   II. megoldás. A keresett maradék $ax+b$ alakú, azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle x^{2001}={\left(x+1\right)}^2\cdot f+ax+b\mathrm{,}}\end{array}$ (1) alkalmas $f$ polinommal. Helyettesítsünk mindkét oldalon $x=-1$-et, ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle -1=-a+b\mathrm{,}\text{vagyis}b=a-1.}\end{array}$ Ezt (1)-be írva kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle x^{2001}+1={\left(x+1\right)}^2\cdot f+a\left(x+1\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Az $\left(x+1\right)$-gyel való osztás után ebből $\begin{array}{c}{\displaystyle x^{2000}-x^{1999}+x^{1998}-\text{...}+\text{...}-x+1=\left(x+1\right)f+a\mathrm{.}}\end{array}$ (2) Ismét az $x=-1$ helyettesítési értékeket képezve: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(-1\right)}^{2000}-{\left(-1\right)}^{1999}+{\left(-1\right)}^{1998}-\text{...}+\text{...}-\left(-1\right)+1=a\mathrm{,}}\end{array}$ tehát $a=2001$, így a keresett maradék $2001x+2000$.