Kezdőlap


Feladat:	B.3416	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Babos Attila
Füzet:	2001/szeptember, 353 - 354. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Terület, felszín, Számtani közép, Mértani közép, Egyéb poliéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/december: B.3416

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először megmutatjuk, hogy egy tetszőleges négyszög oldalainak négyzetösszege legalább akkora, mint a négyszög területének négyszerese. Használjuk az ábra jelöléseit.

\begin{matrix} T_{A B C D} = T_{A B D} \pm T_{B C D} \leq T_{A B D} + T_{B C D} = \frac{a \cdot d \cdot sin α}{2} + \frac{b \cdot c \cdot sin γ}{2} \leq \frac{a d + b c}{2} . \end{matrix}

A mértani és a számtani közepek közötti egyenlőtlenség szerint

a d \leq \frac{a^{2} + d^{2}}{2}

és

b c \leq \frac{b^{2} + c^{2}}{2}

, vagyis

4 T_{A B C D} \leq a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}

valóban.
Írjuk fel ezt az egyenlőtlenséget a poliéder minden lapjára, majd adjuk ezeket össze. A bal oldalon

4 A

-t kapunk, a jobb oldalon pedig

2 Q

-t, mivel minden él két laphoz tartozik a konvex poliéredben. Ezért

4 A \leq 2 Q

, ami 2-vel elosztva éppen a bizonyítandó állítást adja.

Babos Attila (Budapest, ELTE Radnóti M. Gimn., 12. o.t.) dolgozata alapján