Feladat:	B.3410	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Baur Eszter ,  Fehér Ádám
Füzet:	2001/szeptember, 352 - 353. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Középponti és kerületi szögek, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Szöveges feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/november: B.3410

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. A képhez tartozó adott szögű látókörök középpontjai a néző szemmagassága felett $1+\frac{3}{2}=2\mathrm{,}5$ méterre vannak. A látószög annál nagyobb, minél kisebb a látókör sugara (1. ábra). Ezért a legkisebb sugarú olyan látókört kell megkeresnünk, amelynek van szemmagasságban lévő pontja. Ez nyilván az a kör, amelynek sugara $2\mathrm{,}5$ méter. A 2. ábrán látható $OAF$ derékszögű háromszög $OF$ befogója Pitagorasz tétele alapján $OF=\sqrt[]{\mathrm{2,}{5}^2-\mathrm{1,}{5}^2}=2$ méter. Ez megegyezik az $ST$ távolsággal, mert az $STFO$ négyszög téglalap. Tehát a kép látószöge 2 méter távolságból lesz a lehető legnagyobb.  Baur Eszter (Békéscsaba, Rózsa F. Gimn., 11. o.t.) dolgozata alapján   II. megoldás. Legyen a szemmagasságban lévő $S$ pontnak a képet jelző $AB$ szakaszt tartalmazó $f$ egyenes és a szemmagasság $T$ metszéspontjától való távolsága $x$ (3. ábra). Ekkor $BA=3$ és $AT=1$, ezért ha $BSA\sphericalangle =\alpha$ és $AST\sphericalangle =\beta$, akkor $\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\left(\alpha +\beta \right)=\frac{4}{x}$ és $\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\beta =\frac{1}{x}$. Mivel $\alpha$ nyilván hegyesszög, azért akkor a legnagyobb, amikor a tangense maximális. A tangensekre vonatkozó addíciós képlet szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha =\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\left(\left(\alpha +\beta \right)-\beta \right)=\frac{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\left(\alpha +\beta \right)-\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\beta }{1+\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\left(\alpha +\beta \right)\cdot \text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\beta }=\frac{\frac{4}{x}-\frac{1}{x}}{1+\frac{4}{x^2}}=\frac{3}{x+\frac{4}{x}}\mathrm{.}}\end{array}$ Ez akkor a legnagyobb, ha $x+\frac{4}{x}$ a legkisebb. A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle x+\frac{4}{x}\ge 2\cdot \sqrt[]{x\cdot \frac{4}{x}}=\mathrm{4,}}\end{array}$ és egyenlőség akkor és csak akkor van, ha $x=\frac{4}{x}$, azaz ha $x=2$ (tudjuk, hogy $x>0$). Tehát a képet 2 méterről nézve lesz a látószög a legnagyobb.  Fehér Ádám (Győr, Révai M. Gimn., 10. o.t.)