Kezdőlap


Feladat:	3383. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Börzsönyi Ádám , Csóka Endre , Jurányi Zsófia , Mics Zoltan , Pápai Péter , Sarkadi Tamás , Varjú Péter
Füzet:	2001/május, 313 - 315. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Fényvisszaverődés, Fényelnyelés anyagban, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/november: 3383. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Feltételezzük, hogy az üvegcsőbe jutó fény szórt fény, amely minden irányból egyforma ,,intenzitással'' érkezik. Ekkor a fotodetektor által mutatott érték arányos azzal a térszöggel (egy gömb felületén mérhető terület és a sugár négyzetének hányadosával), amely alatt a detektorba egyáltalán fény jut. Gondolhatjuk azt, hogy a csőbe egy egyenletesen megvilágított, viszonylag távol levő sík felületről, pl. a szoba fehérre festett mennyezetéről érkezik a fény. A fotodetektor által jelzett érték ilyenkor azzal a területtel arányos, amekkorát a detektor helyéről felfele nézve a mennyezetből láthatunk. (Ez a terület ugyanis szintén arányos a térszöggel.)
Amikor a cső kormozott fele van alul, akkor azok a sugarak jutnak el a detektorig, melyeknek a cső tengelyével bezárt szöge nem nagyobb, mint az 1. ábrán látható $α_{1}$ . (Az ennél laposabban érkező sugarak a cső kormozott felén elnyelődnek.) Jelöljük a cső hosszát $ℓ$ -lel, a sugarát pedig $r$ -rel, és használjuk ki, hogy a cső ,,hosszú'', azaz $ℓ ≫ r$ . Ekkor

\begin{matrix} α_{1} \approx tg α_{1} = \frac{2 r}{ℓ}, \end{matrix}

a megvilágítás erőssége pedig arányos az

α_{1}^{2} π

térszöggel. (Ha a fényes, megvilágított felület távolsága

R

, akkor a belőle látható terület éppen

{(R α_{1})}^{2} π

nagyságú.)
A fordított helyzetben, amikor a cső tükrös fele van alul (2. ábra), kétféle módon is érheti fény a detektort. Egyrészt azok a sugarak jutnak el

D

-be, melyek egyáltalán nem érintik a cső falát, ezek legfeljebb

\begin{matrix} α_{2} \approx tg α_{2} = \frac{r}{ℓ} \end{matrix}

szögben érkeznek, továbbá azok, amelyek a 2. ábrán látható

P

és

Q

pontok között verődnek vissza a cső faláról. Az ezeket jellemző szögek egyike az eredeti helyzetnél meghatározott

α_{1}

, a másik pedig

\begin{matrix} α_{3} \approx tg α_{3} = \frac{3 r}{ℓ} . \end{matrix}

A teljes megvilágítás erőssége a 3. ábrán sötéten jelölt területekkel, egy

α_{2}

sugarú kör és egy

α_{3}

, illetve

α_{1}

sugarakkal jellemzett körgyűrű területének összegével arányos.
A kétféle helyzetben mérhető megvilágítás aránya (kihasználva, hogy a fentebbi számítás szerint

α_{1} \approx 2 α_{2}

és

α_{3} \approx 3 α_{2}

\begin{matrix} R = \frac{(α_{3}^{2} π - α_{1}^{2} π) + α_{2}^{2} π}{α_{1}^{2} π} = \frac{(9 - 4) + 1}{4} = \frac{3}{2} . \end{matrix}

Jurányi Zsófia (Pécs, Leöwey K. Gimn. 12. o.t.) és

Mics Zoltán (Ipolyság, Magyar Tannyelvű Gimn. 12. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzések. 1. Ha nem használjuk ki, hogy az üvegcső ,,hosszú'', hanem véges

ℓ

csőhossz és

r

sugár mellett pontosan számítjuk ki a térszögeket, akkor a megvilágítások arányára a következő kifejezést kapjuk:

\begin{matrix} \begin{matrix} R = \frac{I_{a}}{I_{b}} = \\ = \frac{1 - \frac{x}{\sqrt[]{x^{2} + 9}} + \frac{x}{\sqrt[]{x^{2} + 4}} - \frac{x}{\sqrt[]{x^{2} + 1}}}{1 - \frac{x}{\sqrt[]{x^{2} + 4}}}, \end{matrix} \end{matrix}

ahol

x = ℓ / r

a cső hosszúságára jellemző dimenziótlan arányszám. Minél nagyobb

x

R

annál jobban közelít

3 / 2

=hez, a másik határesetben,

x ≪ 1

esetén pedig

R \approx 1

. Érdekes, hogy a cső hosszarányát növelve

R

nem monoton növekszik, hanem (a 4. ábrán látható módon) kezdetben csökken,

x \approx 1

értéknél minimuma van, és itt

R = 0, 77

. A feladathoz mellékelt ábrán látható méretarány kb.

x = 7

-nek felel meg, ehhez

R \approx 1, 3

-es megvilágítás-arány tartozik.

Börzsönyi Ádám (Hódmezővásárhely, Bethlen G. Ref. Gimn. 12. o.t.)

2. Többen ‐ a feladat hengerszimmetriájára hivatkozva ‐ úgy gondolták, hogy elegendő a síkbeli viszonyokat tekinteni, és térszögek helyett ,,síkszögekkel'' számoltak. A kérdéses arányra így az

R \approx (α_{3} - α_{2} + α_{1}) / α_{2} \approx 1

hibás eredményt kapták.
Ugyancsak téves az az érvelés, miszerint a detektorba jutó tükröződő fény erőssége a a tükröző felület nagyságával lenne arányos. Próbáljuk ki, hogy egy fekete papírból összetekert cső végéhez tartott zsebtükrön keresztül nézve változik-e az égbolt fényessége, ha a tükör síkját elforgatjuk. Tapasztalni fogjuk, hogy nem változik a fényesség, jóllehet a tükröző felület nagysága nyilván függ a tükör állásától.