Feladat:	3348. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Jurányi Zsófia ,  Mics Zoltan
Füzet:	2001/május, 310 - 312. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Mozgási indukció, Áram hőhatása (Joule-hő), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/május: 3348. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Ha az $l$ hosszúságú vezető rúdban $I$ áram folyik, a $B$ mágneses indukció miatt $F=IlB$ erő hat rá. Másrészről az $R$ ellenálláson eső $U=IR$ feszültség egyenlő a rúdban indukálttal, azaz $IR=Blv$, ahol $v$ a rúd sebessége. Így a mágneses mező (a sebességgel ellentétes irányban) $\begin{array}{c}{\displaystyle F=\frac{{\left(Bl\right)}^2}{R}v}\end{array}$ (1) erővel hat a rúdra. Egyenletes mozgásnál $F-F_0=0$, tehát a rúd állandósult sebessége $v_0=F_{0}R/{\left(Bl\right)}^2$. Ha a rúdra ható külső $F_0$ erőt megszüntetjük, a mágneses mező által kifejtett erő a rudat fékezi, és az az $\begin{array}{c}{\displaystyle ma=-\frac{{\left(Bl\right)}^2}{R}v}\end{array}$ (2) egyenlet szerint lassul. Figyelembe véve, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\text{és}v=\frac{\Delta s}{\Delta t}\mathrm{,}}\end{array}$ (2)-ből leolvasható, hogy a sebesség $\Delta s$ út megtétele alatt $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta v=-\frac{{\left(Bl\right)}^2}{mR}\Delta s}\end{array}$ (3) értékkel csökken. Mivel a lefékeződés teljes $s$ útja alatt a sebességváltozás éppen $-v_0$, a keresett út $\begin{array}{c}{\displaystyle s=\frac{mR{v}_0}{{\left(Bl\right)}^2}=\frac{m{F}_0{R}^2}{{\left(Bl\right)}^4}\mathrm{.}}\end{array}$ (4)  Mics Zoltán (Ipolyság, Magyar Tanítású Nyelvű Gimn., 11. o.t.) dolgozata alapján   II. megoldás. Az előző megoldás elejének menetét követve eljutunk a rúd mozgásegyenletéig: $\begin{array}{c}{\displaystyle a=-\frac{{\left(Bl\right)}^2}{mR}v\mathrm{.}}\end{array}$ (5) Bontsuk fel a mozgást olyan kicsiny $\Delta t$ hosszúságú időintervallumokra, hogy $\Delta t$ négyzetét és magasabb hatványait elhanyagolhassuk! Vizsgáljuk meg, mennyit változik a rúd sebessége, illetve mekkora utat tesz meg a rúd $\Delta t$ idő alatt! Amikor a rúd a $P$ ponthoz ér, sebessége $v_0=F_{0}R/{\left(Bl\right)}^2$, az első $\Delta t$ időtartam alatt tehát jó közelítéssel $s_1=v_0\Delta t$ utat tesz meg, miközben a sebessége $\begin{array}{c}{\displaystyle v_1=v_0-a\Delta t=v_0\left(1-\frac{{\left(Bl\right)}^2\Delta t}{mR}\right)}\end{array}$ értékre csökken. A második időintervallumban a megtett út $s_2=v_1\Delta t$, a sebesség pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle v_2=v_1-a\Delta t=v_1\left(1-\frac{{\left(Bl\right)}^2\Delta t}{mR}\right)=v_0{\left(1-\frac{{\left(Bl\right)}^2\Delta t}{mR}\right)}^2}\end{array}$ nagyságúra változik. A rúd által megtett teljes út egy $\begin{array}{c}{\displaystyle q=1-\frac{{\left(Bl\right)}^2\Delta t}{mR}}\end{array}$ hányadosú végtelen mértani sor összegeként áll elő: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle s=v_0\Delta t+v_1\Delta t+v_2\Delta t+\cdots =v_0\Delta t\left(1+q+q^2+\cdots \right)=\frac{v_0\Delta t}{1-q}=}\\ \hfill {\displaystyle =\frac{v_0\Delta t}{{\left(Bl\right)}^2\Delta t/\left(mR\right)}=\frac{v_{0}mR}{B^2{l}^2}=\frac{m{F}_0{R}^2}{{\left(Bl\right)}^4}\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$  Jurányi Zsófia (Pécs, Leöwey K. Gimn., 10. o.t.)   Megjegyzés. A II. megoldásból az is látszik, hogy a rúd sebessége időben exponenciálisan csökken, véges hosszúságú idő alatt tehát a rúd nem állhat meg. A ,,megállásig megtett út'' kifejezés mégis értelmes; azt jelenti, hogy a gyors ütemben csökkenő sebesség bizonyos idő alatt a mérési pontosságon belül nullának tekinthető, és $s$ az ezen idő alatt megtett utat jelöli.