Kezdőlap


Feladat:	B.3420	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pallos Péter , Puskás Anna , Rácz Béla András
Füzet:	2001/május, 295 - 296. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvénytranszformációk, Konstruktív megoldási módszer, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/december: B.3420

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Olyan (nem konstans) $f$ függvényt adunk meg, amelyre $f (3 x) = 3 \cdot f^{2} (x)$ teljesül. Ez azt jelenti, hogy $f$ grafikonja origó középpontú 3-szoros nagyítással kapható az $f^{2}$ grafikonjából.
I. Példa. Legyen $h$ tetszőleges olyan $[0, 1) \to R$ függvény, amelynek az értékkészlete ${0, \frac{1}{3}}$ , és legyen

\begin{matrix} f (x) = {\begin{matrix} \frac{1}{3} vagy 0, & hax = 0, \\ h ({log_{3} | x |}), & hax \neq 0. \end{matrix} \end{matrix}

(

{t}

t

szám törtrészét jelöli.) Ekkor

f (3 x) = f (x)

és

f^{2} (x) = \frac{1}{3} f (x)

, ezért

f

megfelelő.

Pallos Péter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 11. o.t.) és

Rácz Béla András (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 9. o.t.)

II. Példa. Tetszőleges

a > 0

számra tekintsük az

f (x) = \frac{1}{3} a^{| x |^{log_{3} 2}}

függvényt. Erre

\begin{matrix} \begin{matrix} f (3 x) = \frac{1}{3} a^{| 3 x |^{log_{3} 2}} = \frac{1}{3} a^{3^{log_{3} 2} \cdot | x |^{log_{3} 2}} = \frac{1}{3} a^{2 | x |^{log_{3} 2}} = \frac{1}{3} {(a^{| x |^{log_{3} 2}})}^{2} = \frac{1}{3} {(3 f (x))}^{2} = 3 f^{2} (x) . \end{matrix} \end{matrix}

Puskás Anna (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 9. o.t.)