Kezdőlap


Feladat:	B.3381	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Baharev Ali
Füzet:	2001/május, 287 - 289. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Klasszikus valószínűség, Kombinációk, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/május: B.3381

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Azt kell megmutatni, hogy legfeljebb ${(\frac{703}{732})}^{30}$ annak a valószínűsége, hogy 30 embernek csupa különböző napon van a születésnapja. Ezt két, egymástól eltérő modell esetén is igazoljuk.
$1$ . értelmezés: A 30 születésnapot tekintsük a naptárban elfoglalt sorrendjükben felírva. A ,,kedvező esetek'' száma (366 napos évvel számolva, hiszen akkor kapunk nagyobb értéket) $(\binom{366}{30})$ . Az összes esetek száma 366 elem 30-adosztályú ismétléses kombinációinak a száma: $(\binom{395}{30})$ . A keresett valószínűség így

\begin{matrix} p_{1} = \frac{(\binom{366}{30})}{(\binom{395}{30})} = \frac{366 \cdot 365 \cdot ... \cdot 337}{395 \cdot 393 \cdot ... \cdot 366} . \end{matrix}

2

. értelmezés: Különbséget teszünk az esetek között aszerint, hogy egy adott dátum a 30 ember közül ‐ jelöljük őket rendre

E_{1}

E_{2}

...

E_{30}

-cal ‐ kinek a születésnapja. Annak a valószínűsége, hogy

E_{2}

más napon született, mint

E_{1}

, nyilván

\frac{365}{366}

. Az

E_{1}

és

E_{2}

(eltérő) születési dátumának ismeretében

\frac{364}{366}

annak a valószínűsége, hogy

E_{3}

születésnapja

E_{1}

és

E_{2}

születésnapjától is különbözik; ezért hármójuk születésnapja

\frac{365 \cdot 364}{366 \cdot 366}

valószínűséggel különböző. E gondolatmenetet folytatva kapjuk, hogy

\begin{matrix} p_{2} = \frac{366 \cdot 365 \cdot ... \cdot 337}{366^{30}} \end{matrix}

annak a valószínűsége, hogy mind a 30 ember más-más napon született.
A számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség szerint:

\begin{matrix} \begin{matrix} \sqrt[30]{366 \cdot 365 \cdot ... \cdot 337} < \frac{366 + 365 + ... + 337}{30} = \frac{703}{2}, \\ tehát \\ p_{1} < p_{2} < \frac{{(\frac{703}{2})}^{30}}{366^{30}} = {(\frac{703}{732})}^{30} . \end{matrix} \end{matrix}

Baharev Ali (Vác, Boronkay Gy. Gimn., 12. o.t.)

Megjegyzés. A kapott két különböző valószínűség annak a következménye, hogy a kétféle értelmezés során mást tekintettünk eseménynek: először a születésnapok elhelyezkedése (a naptárban) volt egy esemény, másodszor viszont egy lista, amelyben mindenki neve mellett szerepel a születési dátuma. Az eltérő értelmezésekre álljon itt a következő, nagyon egyszerű példa. Aladár és Botond feldob egy-egy érmét; annak a valószínűségét keressük, hogy a két dobás megegyező kimenetelű. Az egyformán valószínű lehetséges események:

\begin{matrix} [A (f); B (f)]; [A (f); B (i)]; [A (i); B (f)]; [A (i); B (i)] . \end{matrix}

Mivel a 4 esetből kettőnél egyezik meg a két dobás eredménye, a keresett valószínűségre joggal mondhatjuk, hogy az

\frac{2}{4} = \frac{1}{2}

. Tegyük föl azonban, hogy nem tudunk jelen lenni a dobásoknál, ezért megkérünk egy közjegyzőt az események rögzítésére. Egy űrlapot kell kitöltenie, amelyen a ,,fej'' és az ,,írás'' dobások száma áll. Hányféle jegyzőkönyvet kaphatunk a dobások szemtanújától? Nyilván hármat, ezek:

\begin{matrix} \begin{matrix} [2 fej, 0 írás]; [1 fej, 1 írás]; [0 fej; 2 írás] . \end{matrix} \end{matrix}

Ha arra gondolunk, hogy a jegyzőkönyvet véletlenszerűen kitöltve egyenlő eséllyel kaphatjuk a három változat bármelyikét, a keresett valószínűséget

\frac{1}{3}

-nak találjuk.