Kezdőlap


Feladat:	3322. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Börzsönyi Ádám , Gáspár Merse Előd , Hegedűs Ákos , Jung János , Lábó Eszter , Lábó Melinda , Lipcsei Gábor , Mics Zoltan , Nagy Ádám , Pozsgay Balázs , Reischig Péter
Füzet:	2001/április, 249 - 251. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb kényszermozgás, Nyomóerő, kötélerő, Elektromos dipólus, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/február: 3322. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Helyettesítsük az elektromos dipólt egymástól $d$ távolságra levő $+ q$ és $- q$ töltésű pontszerű testekkel, és használjuk a (szándékosan eltúlzott méretarányú) ábrán látható jelöléseket. A dipól erősségere a $p = q \cdot d$ szorzat jellemző. A továbbiakban fel fogjuk használni, hogy $d ≪ R$ .
Az energiamegmaradás tétele segítségével számítsuk először ki, hogy mekkora a $P$ pontból kezdősebesség nélkül induló $Q$ töltésű gyöngyszem sebessége az $α$ szöggel jellemezhető helyen. A gyöngyszem elektrosztatikus potenciális energiájának megváltozása abból származik, hogy a $- q$ töltéstől mért távolsága $d sin α$ értékkel lecsökken, emiatt

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v^{2} \approx - k q Q (\frac{1}{R} - \frac{1}{R - d sin α}) \approx \frac{k q Q d sin α}{R^{2}} = \frac{k Q p sin α}{R^{2}}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} v = \sqrt[]{\frac{2 k Q p}{m R^{2}} sin α} . \end{matrix}

(1)

Ennek ismeretében a

b)

kérdésre már tudunk válaszolni: a gyöngyszem először egy félkör megtétele után a

P'

pontban (

α = 180^{\circ}

-nál) fog megállni, majd visszafordulva ‐ súrlódás és egyéb energiaveszteség hiányában ‐ periodikus mozgást végez

P

és

P'

között.
Határozzuk meg ezek után a
gyöngyszemre ható elektrosztatikus erőket, majd ezekből és a Newton II. törvényéből számítsuk ki a körpályán maradáshoz szükséges (a huzal által sugár irányban kifejtett)

N

kényszererőt. A dipól alkotórészei majdnem pontosan ellentétes (sugár irányú) erőket fejtenek ki, melyek eredője:

\begin{matrix} F = F_{1} - F_{2} \approx k q Q (\frac{1}{{(R - d sin α)}^{2}} - \frac{1}{R^{2}}) \approx \frac{k q Q 2 d sin α}{R^{3}} = \frac{2 k Q p sin α}{R^{3}} . \end{matrix}

(2)

Ez az erő a dipólus felé mutat (hiszen a vonzóerőt kifejtő

- q

közelebb van a gyöngyszemhez, mint a taszító

+ q

töltés), így a

v

sebességű, tehát sugár irányban

v^{2} / R

gyorsulású gyöngyszem mozgásegyenlete:

\begin{matrix} m \frac{v^{2}}{R} = \frac{2 k Q p sin α}{R^{3}} + N . \end{matrix}

A sebesség nagyságát megadó (1)-et (3)-ba helyettesítve a kényszererőre a meglepő

N = 0

adódik.
A gyöngyszemre tehát sugár irányban (az elektrosztatikus erőkön kívül) nem hat erő, így a gyöngyszem sem fejt ki a huzalra ilyen irányú erőt. (Teremészetesen a gyöngyszem súlyából származó függős erőnek jelen kell lennie.) Ha a huzalt eltávolítjuk (de a gyöngyszem függőleges elmozdulását megakadályozzuk), a mozgás ugyanúgy zajlik le, mint a huzalra fűzött gyöngy esetében.

Több dolgozat alapján

Megjegyzés. Az (1) képletből leolvasható, hogy a gyöngyszem mozgása éppen olyan, mint egy vízszintes helyzetből indított matematikai ingáé alkalmasan választott erősségű homogén gravitációs mezőben.