Feladat:	B.3403	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pusztai Erika
Füzet:	2001/április, 225. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Magasabb fokú egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/november: B.3403

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Végezzük el az alábbi ekvivalens átalakításokat a feladat kiinduló azonosságán: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $a+b+c\ne 0$, $a\ne 0$, $b\ne 0$, $c\ne 0$. $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle abc=\left(a+b+c\right)\left(ab+ac+bc\right)=a^{2}b+a^{2}c+abc+a{b}^2+abc+b^{2}c+abc+a{c}^2+b{c}^2}\\ \hfill {\displaystyle 0=\left(a^{2}b+a^{2}c\right)+\left(abc+a{c}^2\right)+\left(a{b}^2+abc\right)+\left(b^{2}c+b{c}^2\right)=}\\ \hfill {\displaystyle =\left(b+c\right)\left(a^2+ac+ab+bc\right)=\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ Egy szorzat csak akkor lehet 0, ha valamelyik tényezője 0, így vagy $b=-c$, vagy $a=-c$, vagy $a=-b$. Tegyük fel, hogy például $b=-c$. Ekkor viszont bármilyen $n$ pozitív szám esetén $b^{2n+1}=-c^{2n+1}$ és $\frac{1}{b^{2n+1}}=-\frac{1}{c^{2n+1}}$, így $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}}=\frac{1}{a^{2n+1}}=\frac{1}{a^{2n+1}}+\frac{1}{b^{2n+1}}+\frac{1}{c^{2n+1}}\mathrm{.}}\end{array}$ Hasonlóan bizonyíthatunk $a=-c$ vagy $a=-b$ esetén is. $n=2$-re kapjuk a feladat állítását.   II. megoldás. Az I. megoldás szerint írjuk át a kiinduló feltételt $\begin{array}{c}{\displaystyle abc=\left(a+b+c\right)\left(ab+ac+bc\right)}\end{array}$ (*) alakba! Tekintsünk most egy harmadfokú egyenletet, amelynek $a$, $b$ és $c$ a gyökei: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)=0}\\ \hfill {\displaystyle x^3-\left(a+b+c\right)x^2+\left(ab+ac+bc\right)x-abc=0}\end{array}}}\end{array}$ Használjuk fel $\left(*\right)$-ot: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle x^2\left[x-\left(a+b+c\right)\right]+\left(ab+ac+bc\right)\left[x-\left(a+b+c\right)\right]=0}\\ \hfill {\displaystyle \left[x-\left(a+b+c\right)\right]\left[x^2-\left(ab+ac+bc\right)\right]=0.}\end{array}}}\end{array}$ Tehát a harmadfokú egyenlet egyik gyöke $a+b+c$. Ebből az következik, hogy vagy $a=a+b+c$, vagy $b=a+b+c$, vagy $c=a+b+c$. A bizonyítást az I. megoldáshoz hasonlóan fejezhetjük be.  Pusztai Erika (Budapest, Batthyány Lajos Gimn., 10. o.t.) dolgozata alapján