Kezdőlap


Feladat:	C.599	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bartalits Dániel
Füzet:	2001/április, 210 - 211. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenes körkúpok, Csonkakúp, Térfogat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/október: C.599

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tudjuk, hogy a nagy kúp térfogata:

\begin{matrix} V_{1} = \frac{R^{2} π}{3} . \end{matrix}

A kúp csúcsa legyen

A

, az alapkör középpontja

O

O B = R

és

C D = r

(ábra). A kis kúp magassága

1 - h

, és abból, hogy az

O A B

háromszög hasonló a

C A D

háromszöghöz, kapjuk, hogy

\frac{r}{R} = 1 - h

, ahonnan

r = R (1 - h)

. A kis kúp térfogata:

\begin{matrix} V_{2} = \frac{{[R (1 - h)]}^{2} π (1 - h)}{3} = \frac{R^{2} π}{3} {(1 - h)}^{3} . \end{matrix}

h \geq \frac{1}{2}

, akkor a kis kúp tükörképe teljes egészében a nagy kúp belsejében van.
Ekkor a maradék test térfogata:

\begin{matrix} V_{1} - 2 V_{2} = \frac{R^{2} π}{3} - 2 \frac{R^{2} π}{3} {(1 - h)}^{3} . \end{matrix}

Ha viszont

h < \frac{1}{2}

, akkor a kilógó kis kúp magassága

1 - 2 h

, sugara

r_{1} = r (\frac{1 - 2 h}{1 - h})

, térfogata:

\begin{matrix} V_{3} = \frac{r^{2} {(\frac{1 - 2 h}{1 - h})}^{2} (1 - 2 h) π}{3} = \frac{R^{2} {(1 - h)}^{2} {(\frac{1 - 2 h}{1 - h})}^{2} (1 - 2 h) π}{3} = \frac{R^{2} π}{3} {(1 - 2 h)}^{3} . \end{matrix}

Így a maradék test térfogata most

\begin{matrix} \begin{matrix} V_{1} - V_{2} - (V_{2} - V_{3}) = V_{1} - 2 V_{2} + V_{3} = \frac{R^{2} π}{3} [1 - 2 {(1 - h)}^{3} + {(1 - 2 h)}^{3}] = 2 R^{3} π h^{2} (1 - h) . \end{matrix} \end{matrix}

Bartalits Dániel (Budapest, Móricz Zs. Gimn., 9. o.t.)