A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Az elrendezésben a és a pontok teljesen szimmetrikus szerepet töltenek be, emiatt ekvipotenciálisak, közöttük nem folyik áram. Az és ágak ellenállása kétszerese az ág ellenállásának, így a megfelelő áramerősségek: | |
A Biot‐Savart-törvény szerint egy véges hosszúságú egyenes vezetődarab járuléka az általa létrehozott mágneses mezőhöz arányos a vezetékben folyó árammal, és a mező iránya valamely pontban merőleges arra a síkra, amely vezetőre és az pontra illeszkedik. Így például az szakasz járuléka az pontbeli mágneses indukcióvektorhoz ahol (a tetraéder méretétől is függő) pozitív szám. (Felhasználtuk, hogy a szabályos tetraéder szemközti élei merőlegesek egymásra, így a vektor éppen a Biot‐Savart-törvénynek és a jobbkéz-szabálynak megfelelő irányú.) A többi él járuléka is hasonlóan számolható, és mivel a két hosszú egyenes vezető a középpontban nem hoz létre mágneses teret, a teljes mágneses indukció az pontban: | | Ez a vektor viszont | | miatt nullvektor, vagyis a mágneses indukció a tetraéder középpontjában nulla.
Király Tamás (Budapest, Mechatronikai Szki. és Gimn. 12. o.t.) |
II. megoldás. Megmutatjuk, hogy mindegyik szabályos poliéderre (a tetraéder mellett a kockára, az oktaéderre, a dodekaéderre és az ikozaéderre is) igaz a következő állítás: a poliéder bármely két csúcsánál ,,centrálisan'' oda-, illetve elvezetett áram hatására kialakuló mágneses mező a poliéder középpontjában nulla. Képzeljük el a következő (csillagszóróra emlékeztető) elrendezést: a poliéder egyik (mondjuk jelű) csúcsához egy hosszú, egyenes, a középpont felé irányuló vezetéken áramot vezetünk, az összes többi csúcsból pedig hasonló irányítású huzalokon egyforma erősségű áramot vezetünk el. Hozzunk létre egy másik, hasonló árameloszlást: vezessünk el a pontból áramot, az összes többi csúcspontba pedig egyforma erősségű befolyó áramokkal folyamatosan pótoljuk a hiányzó töltéseket. Ezen két árameloszlás szuperpoziciója éppen az állításunkban szereplő áramelrendezést adja (1. ábra); így tehát ha sikerül belátnunk, hogy egyetlen ,,csillagszóró'' mágneses tere a poliéder középpontjában nulla, akkor a két tetszőleges helyzetű külső vezetékes árameloszlásra is bebizonyítottuk állításunkat. Tételezzük fel, hogy pontba vezetett (és a többi csúcspontnál szimmetrikusan elvezetett) áram hatására a poliéder közeppontjában valamekkora B mágneses indukció alakul ki. Ennek a B vektornak irányúnak kell lennie, hiszen a poliédert körül valamekkora (a poliéder szimmetriájára jellemző) szöggel (az oktaédert pl. -kal) elforgatva az eredetivel megegyező áramelrendezést kapjuk vissza, és ezzel a ,,diszkrét szimmetriával'' nyilván a mágneses mező is rendelkezik.) Képzeljük el, hogy a poliéder középpontjának közelében egy töltött részecske az tengely körül körpályán mozog. Ha alkalmasan választjuk meg a részecske szögsebességét és keringési irányát, akkor az pontban mérhető mágneses mező éppen biztosítani képes a körmozgáshoz szükséges nagyságú és irányú centripetális erőt. Képzeljük el továbbá azt is, hogy az egész elrendezést (az árameloszlást, a kialakuló mágneses mezőt és a keringő részecskét) egy tükörből nézzük (2. ábra). A poliéder tükörképe az eredetivel megegyező poliéder lesz, az árameloszlás is ugyanolyan, mint a ,,tükör előtti világban'', a részecske keringése azonban megfordul. Ha a részecske a valóságban az pont felől nézve mondjuk az óramutatóval megegyező irányban forog, akkor a ,,tükrön túl'' a forgásának iránya éppen ellenkező lesz. A tükrözött elrendezésben tehát a mágneses mező fordított irányú, mint a valóságban, noha az árameloszlás mindkét esetben ugyanaz, tehát a vektornak sem lenne szabad megváltoznia. Egyetlen olyan vektor van, amelyik önmaga -szerese: a nullvektor. A poliéder középpontjában tehát a csillagszóróra emlékeztető elrendezésben nem lehet nullától különböző mágneses indukció, s az egyenletek linearitása (szuperponálhatósága) miatt ugyanez érvényes a csillagszórókból összetehető bonyolultabb áramelrendezésekre is.
|
|