Feladat:	3381. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Nagy Ádám ,  Siroki László ,  Varjú Péter
Füzet:	2001/március, 183 - 185. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Mozgási indukció, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/november: 3381. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. A vezető $\Delta t$ idő alatt $vl\text{sin}\gamma \Delta t$ területet súrol. Ha a mágneses indukciónak az $l-v$ síkra merőleges komponensét $B_{\perp }$ módon jelöljük, akkor a $\Delta t$ idő alatt ,,átmetszett erővonalak'' száma $\Delta \Phi =B_{\perp }vl\text{sin}\gamma \Delta t$, így az indukált feszültség $\begin{array}{c}{\displaystyle U=\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}=B_{\perp }vl\text{sin}\gamma \mathrm{.}}\end{array}$ Határozzuk meg $B_{\perp }$-t! Jelölje ${\text{B}}_l$,${\text{B}}_v$ és ${\text{B}}_{lv}$ rendre a mágneses indukció $l$-lel, $v$-vel és az $l-v$ síkkal párhuzamos összetevőit (1. ábra)! Az előbbi kettő hossza könnyen számítható: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle B_l=B\text{sin}\alpha =0\mathrm{,}433\text{mT}\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle B_v=B\text{sin}\beta =0\mathrm{,}383\text{mT}\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ Legyen $x$ a ${\text{B}}_l$ és ${\text{B}}_v$ vektorok által meghatározott háromszög harmadik oldala (2. ábra). A koszinusztételből: $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\sqrt[]{B_l^2+B_v^2-2B_l{B}_v\text{cos}\gamma }=0\mathrm{,}348\text{mT}\mathrm{.}}\end{array}$ Másrészt tudjuk, hogy ${\text{B}}_{lv}$ vektornak a vezetőre merőleges vetülete ${\text{B}}_l$, $\text{v}$-re merőleges vetülete pedig ${\text{B}}_v$, így $OPQ$ és $ORQ$ derekszögű háromszögek, $OQ$ tehát az $ORP$ háromszög körülírt körének átmérője. Alkalmazva a Thalész tételét és az ismert $OQ=x/\text{sin}\gamma$ összefüggést: $\begin{array}{c}{\displaystyle B_{lv}=\frac{x}{\text{sin}\gamma }=0\mathrm{,}454\text{mT}}\end{array}$ adódik. Ebből és a Pitagorasz-tételből kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle B_{\perp }=\sqrt[]{B^2-B_{lv}^2}=0\mathrm{,}209\text{mT}\mathrm{,}}\end{array}$ az indukált feszültség pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle U=B_{\perp }vl\text{sin}\gamma =0\mathrm{,}16\text{mV}\mathrm{.}}\end{array}$  Varjú Péter (Szeged, Radnóti M. Gimn. 12. o.t.)   II. megoldás. Válasszuk a koordináta-rendszerünket úgy, hogy a $\text{v}$ vektor az $x$ irányú legyen, a B vektor pedig kerüljön az $x-y$ síkba. Ekkor a három vektor koordinátái: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \text{v}}& {\displaystyle =\left(v\mathrm{,}\mathrm{0,}0\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{B}}& {\displaystyle =\left(B_x\mathrm{,}{B}_y\mathrm{,}0\right)=\left(B\text{cos}\beta \mathrm{,}B\text{sin}\beta \mathrm{,}0\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{l}}& {\displaystyle =\left(l_x\mathrm{,}{l}_y\mathrm{,}{l}_z\right)=\left(l\text{cos}\gamma \mathrm{,}{l}_y\mathrm{,}{l}_z\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ (Kihasználtuk, hogy ismerjük $\text{B}$ és $\text{v}$, valamint $\text{l}$ és $\text{v}$ vektorok egymással bezárt szögét.) Az indukált feszültség számításánál $\text{B}$-nek csak $\text{v}$-re merőleges (vagyis $y$ irányú), $\text{l}$-nek pedig csak $\text{v}$-re is és $\text{B}$-re is merőleges (vagyis az $z$ irányú) komponense játszik szerepet: $\begin{array}{c}{\displaystyle U=v\cdot B\text{sin}\beta \cdot l_z\mathrm{.}}\end{array}$ A vektorok skaláris szorzásának szabályai szerint: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{B<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⋅</mo></math>l}=Bl\text{cos}\alpha =B_x{l}_x+B_y{l}_y+B_z{l}_z=Bl\text{cos}\beta \text{cos}\gamma +B\text{sin}\beta l_y\mathrm{,}}\end{array}$ azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle l_y=l\frac{\text{cos}\alpha -\text{cos}\gamma \text{cos}\beta }{\text{sin}\beta }\mathrm{.}}\end{array}$ Innen Pitagorasz tételének felhasználásával $\begin{array}{c}{\displaystyle l_z=\sqrt[]{l^2-l_x^2-l_y^2}=l\sqrt[]{1-\text{cos}{}^2\gamma -\frac{{\left(\text{cos}\alpha -\text{cos}\gamma \text{cos}\beta \right)}^2}{\text{sin}{}^2\beta }}\mathrm{,}}\end{array}$ a keresett feszültség pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle U=Bvl\sqrt[]{1-\text{cos}{}^2\alpha -\text{cos}{}^2\beta -\text{cos}{}^2\gamma +2\text{cos}\alpha \text{cos}\beta \text{cos}\gamma }=0\mathrm{,}16\text{mV}\mathrm{.}}\end{array}$  Siroki László (Debrecen, Fazekas M. Gimn. 11. o.t.)   III. megoldás. $\text{B}$ indukciójú mágneses mezőben $\text{v}$ sebességgel mozgó, $\text{l}$ vektorral jellemezhető vezetőben (l iránya a vezetővel párhuzamos, nagysága pedig a vezető hossza) az indukált feszültség $\begin{array}{c}{\displaystyle U=\left(\text{v}\times \text{B}\right)\text{l}\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis a $\text{v}$, $\text{B}$ és $\text{l}$ vektorok vegyesszorzata. Ennek a szorzatnak a nagysága a három vektor által kifeszített paralelepipedon térfogatával egyezik meg, ami a három vektor által kifeszített tetraéder $V$ térfogatának 6-szorosa. A tetraéder térfogata viszont (lásd pl. Reiman I.: Fejezetek az elemi geometriából, 202. old.) $\begin{array}{c}{\displaystyle V=\frac{vBl}{3}\sqrt[]{\text{sin}s\cdot \text{sin}\left(s-\alpha \right)\cdot \text{sin}\left(s-\beta \right)\cdot \text{sin}\left(s-\gamma \right)}\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $s=\left(\alpha +\beta +\gamma \right)/2$. A megadott számadatokkal $U=1\mathrm{,}6\cdot {10}^{-4}\text{V}$.  Nagy Ádám (Budapest, Szent István Gimn. 12. o.t.)   Megjegyzés. Sokan a térbeli vektorok egymásra merőleges vetületeit hibásan (,,páronként'') számolva az $U=Blv\text{sin}\alpha \text{sin}\beta \text{sin}\gamma$ képlethez jutottak, és ebből a téves $0\mathrm{,}12\text{mV}$-os eredményt kapták.