A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A vezető idő alatt területet súrol. Ha a mágneses indukciónak az síkra merőleges komponensét módon jelöljük, akkor a idő alatt ,,átmetszett erővonalak'' száma , így az indukált feszültség Határozzuk meg -t! Jelölje , és rendre a mágneses indukció -lel, -vel és az síkkal párhuzamos összetevőit (1. ábra)! Az előbbi kettő hossza könnyen számítható: | | Legyen a és vektorok által meghatározott háromszög harmadik oldala (2. ábra). A koszinusztételből: | | Másrészt tudjuk, hogy vektornak a vezetőre merőleges vetülete , -re merőleges vetülete pedig , így és derekszögű háromszögek, tehát az háromszög körülírt körének átmérője. Alkalmazva a Thalész tételét és az ismert összefüggést: adódik. Ebből és a Pitagorasz-tételből kapjuk, hogy az indukált feszültség pedig
Varjú Péter (Szeged, Radnóti M. Gimn. 12. o.t.) |
II. megoldás. Válasszuk a koordináta-rendszerünket úgy, hogy a vektor az irányú legyen, a B vektor pedig kerüljön az síkba. Ekkor a három vektor koordinátái: | | (Kihasználtuk, hogy ismerjük és , valamint és vektorok egymással bezárt szögét.) Az indukált feszültség számításánál -nek csak -re merőleges (vagyis irányú), -nek pedig csak -re is és -re is merőleges (vagyis az irányú) komponense játszik szerepet: A vektorok skaláris szorzásának szabályai szerint: | | azaz Innen Pitagorasz tételének felhasználásával | lz=l2-lx2-ly2=l1-cos2γ-(cosα-cosγcosβ)2sin2β, | a keresett feszültség pedig | U=Bvl1-cos2α-cos2β-cos2γ+2cosαcosβcosγ=0,16mV. |
Siroki László (Debrecen, Fazekas M. Gimn. 11. o.t.) |
III. megoldás. B indukciójú mágneses mezőben v sebességgel mozgó, l vektorral jellemezhető vezetőben (l iránya a vezetővel párhuzamos, nagysága pedig a vezető hossza) az indukált feszültség vagyis a v, B és l vektorok vegyesszorzata. Ennek a szorzatnak a nagysága a három vektor által kifeszített paralelepipedon térfogatával egyezik meg, ami a három vektor által kifeszített tetraéder V térfogatának 6-szorosa. A tetraéder térfogata viszont (lásd pl. Reiman I.: Fejezetek az elemi geometriából, 202. old.) | V=vBl3sins⋅sin(s-α)⋅sin(s-β)⋅sin(s-γ), | ahol s=(α+β+γ)/2. A megadott számadatokkal U=1,6⋅10-4V.
Nagy Ádám (Budapest, Szent István Gimn. 12. o.t.) |
Megjegyzés. Sokan a térbeli vektorok egymásra merőleges vetületeit hibásan (,,páronként'') számolva az U=Blvsinαsinβsinγ képlethez jutottak, és ebből a téves 0,12mV-os eredményt kapták.
|
|