Jelöljük az $n$-elemű halmazt $S$-sel, elemei legyenek $x_1$, $\text{...}$, $x_n$.
Könnyen ellenőrizhető, hogy megfelelő az a két felbontás, amikor az összes részhalmaz $H$-ba, illetve $I$-be kerül, azaz $H$ és $I$ valamelyike üres. Nevezzük ezeket triviális felbontásoknak. A továbbiakban pontosan leírjuk, mik azok a nemtriviális felbontások, amelyekben sem $H$, sem $I$ nem üres.
Először megmutatjuk, hogy egy nem triviális felbontásban $\varnothing \in H$ és $S\in I$. Legyen ugyanis $h\in H$ és $i\in I$ két tetszőleges halmaz; ekkor $\varnothing =\varnothing \cap h\in H$ és $S=S\cup i\in I$ az a), b) és c) tulajdonságok miatt.
Tegyük fel, hogy $n\ge 1$, és tekintsük most az $\left\{x_1\right\}$, $\text{...}$, $\left\{x_n\right\}$ egyelemű részhalmazokat. Azt állítjuk, hogy ezek közül pontosan egy tartozik $I$-be. Ha mindegyik egyelemű halmaz $H$-ba tartozna, akkor a c) tulajdonság miatt az $\left(\left\{x_1\right\}\cup \left\{x_2\right\}\right)\cup \text{...}\cup \left\{x_n\right\}=S$ halmaz is $H$-ban lenne, ami ellentmondás. Az egyelemű részhalmazok között tehát van olyan, ami $I$-be tartozik. Ha az egyelemű halmazok közül legalább kettő tartozna $I$-be, akkor az a) tulajdonság miatt ezek metszete, $\varnothing$ is $I$-beli lenne, ami szintén ellentmondás.
Legyen $\left\{x_j\right\}$ az az egyelemű halmaz, amely $I$-be tartozik. Az a) és b) tulajdonságok alapján megállapíthatjuk, hogy minden olyan $r$ részhalmaz, amelynek $x_j$ eleme, $I$-be tartozik; ugyanis $r=r\cup \left\{x_j\right\}$.
Megfordítva, ha egy $r$ részhalmaznak $x_j$ nem eleme, akkor $r\in I$ nem lehetséges, ugyanis $r\in I$ esetén az a) tulajdonság alapján $r\cap \left\{x_j\right\}=\varnothing$ is $I$-beli lenne. Azt kaptuk tehát, hogy egy $r$ halmaz akkor és csak akkor tartozik $I$-be, ha $x_j\in r$. A nemtriviális felbontások száma tehát a lehetséges $x_j$-k száma, azaz $n$.
Az $n=0$, azaz $S=\varnothing$ esetben a két triviális felbontás ugyanaz: $I=H=\varnothing$ és más felbontás nincs; az összes felbontások száma tehát 1. Ha $n=1$, akkor a két triviális felbontás különböző, és más felbontás nincs, így a felbontások száma 2. Ha $n>1$, akkor a két triviális felbontás különböző, az összes felbontások száma $n+2$.