Feladat: A.246 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ambrus Gergely ,  Balogh 541 János ,  Csikvári Péter ,  Csóka Endre ,  Gerencsér Balázs ,  Hablicsek Márton ,  Harangi Viktor ,  Kiss-Tóth Christián ,  Koch Dénes ,  Kovács Erika Renáta ,  Kunszenti-Kovács Dávid ,  Pach Péter Pál ,  Rácz Béla András ,  Vajda Péter ,  Varjú Péter ,  Vígh Viktor ,  Vörös László 
Füzet: 2001/március, 166 - 167. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Magasabb fokú egyenletrendszerek, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2000/október: A.246

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenletrendszernek triviálisan megoldásai azok a számnégyesek, amelyekben két-két szám egymás ellentettje. Megmutatjuk, hogy más megoldás nincs. Ehhez először bebizonyítjuk a következő lemmát:

 
Lemma. Ha a, b valós számok és a≠0, akkor az X+Y=a, X7+Y7=b egyenletrendszernek ‐ az ismeretlenek sorrendjétől eltekintve ‐ legfeljebb egy valós megoldása lehet.
Legyen X=a2-Z, Y=a2+Z. A szimmetria miatt feltehetjük, hogy Z≥0. Azt kell igazolnunk, hogy a második egyenlet legfeljebb egy Z≥0 értékre teljesülhet. Behelyettesítve
(a2-Z)7+(a2+Z)7=b7aZ6+35a34Z4+21a516Z2+a764=b.
A bal oldal a>0 esetén Z-ben szigorúan monoton nő, az a<0 esetben szigorúan monoton fogy, ezért valóban legfeljebb csak egy nemnegatív Z-re teljesül az egyenlet.
Tekintsük most az (1) egyenletrendszert. Tegyük fel, hogy valamelyik két szám összege nem 0, pl. x+y≠0. Legyen a=-(x+y) és b=-(x7+y7). A z, w számokra teljesülnie kell a
z+w=a,z7+w7=b
egyenletrendszernek. Ennek a (-x,-y) számpár megoldása; a lemma szerint ‐ a sorrendtől eltekintve ‐ más nincs.
Ha az x, y, z, w számok közül bármelyik kettő összege 0, akkor többek között x+y=y+w=0, vagyis x és y, illetve z és w egymás ellentettje. (Természetesen ennél sokkal több is igaz; rövid számolással kapjuk, hogy x=y=z=w=0.)