Feladat: B.3391 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Béky Bence ,  Dömötör Csilla ,  Horváth Illés ,  Várkonyi Dániel 
Füzet: 2001/március, 157 - 158. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Logikai feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2000/szeptember: B.3391

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Addig kövessük nyomon az eseményeket, amíg Dömötör és Elek közül valamelyiknek fel kell állnia. Megmutatjuk, hogy a 78! esetnek pontosan a felében fordul elő, hogy Eleknek (számára kedvezőtlen módon) ülőhelyet kell változtatnia. Ehhez a 78! ülési sorrendet párokba állítjuk úgy, hogy minden párban pontosan az egyik sorrend legyen Elekre nézve kedvező. A párosítás legyen a következő: egy tetszőleges sorrend párja legyen az, amelyet belőle Dömötör és Elek helycseréjével kapunk. Ez valóban párosítás, hiszen minden sorrend különbözik a párjától, és a párok tagjai kölcsönösen egymásra találnak, mivel Dömötör és Elek kétszeri helycseréje az eredeti sorrendet állítja vissza. Világos, hogy egy sorrend pontosan akkor kedvező Elek számára, ha a párja kedvezőtlen. Tehát 12 annak a valószínűsége, hogy Elek ülve nézheti végig a Dömötör lelepleződéshez vezető eseményeket.

 

Béky Bence (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 11. o.t.), Dömötör Csilla (Győr, Révai M. Gimn., 11. o.t.), Horváth Illés (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 11. o.t.), Várkonyi Dániel (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 12. o.t.) dolgozatai alapján.
 
Megjegyzések. 1. A feladatot megoldók többsége arra jött rá, hogy a feladat szempontjából elég csak Dömötört, Eleket és a ,,többi utast'' vizsgálni, és Dömötör és Elek helyzete szimmetrikus, felcserélhető.
2. Könnyen megsejthető a végeredmény, ha 79 utas helyett 3-ra, majd 4-re ,,az ujjainkon számoljuk ki'' a keresett valószínűséget. Ezután teljes indukcióval beláthatjuk, hogy a végeredmény az utasok számától függetlenül 12.
3. Sokan próbálkoztak az esetek leszámolásával: itt abból adódtak tévedések, hogy voltak akik helytelenül nem kizáró események valószínűségét adták össze.