A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen a feltételnek megfelelő tetraéder . Legyen , , , , és rendre a , , , , és élek felezőpontja. Az csúcsban találkozó élek 5, és hosszúak, legyen pl. , és . Ha lenne, akkor a csúcsból két darab 5 hosszúságú él lépne ki, és hasonlóan, ha lenne, akkor a csúcsban találkozó élek közül lenne kettő ; így , és és , miatt . Mivel és , ezért . Felhasználjuk, hogy egy tetszőleges háromszögben , ahol a háromszög oldalai , és , az -hoz tartozó súlyvonal pedig . (Ez az állítás lényegében a Geometriai feladatok gyűjteménye II. 289. feladatának következménye.) a háromszög súlyvonala, így . a háromszög súlyvonala, így . az háromszög súlyvonala, így , ezért . Hasonlóan kapjuk a háromszögben: , a háromszögben: , a háromszögben: , továbbá a háromszögben: , a háromszögben: , a háromszögben . A tetraéder szemközti éleinek felezőpontjait összekötő szakaszok hossza rendre 3, 4 és 5; mégpedig úgy, hogy a hosszú élek felezőpontjait a 3, a hosszú élek felezőpontjait a 4, az 5 hosszúságú élek felezőpontjait az 5 hosszú szakasz köti össze.
Szekeres Balázs (Szolnok, Verseghy Ferenc Gimn., 10. o.t.) |
Megjegyzés. Megmutatható, hogy a feladatban szereplő tetraéder bennfoglaló paralelepipedonja téglatest. Ha a téglatest éleinek hossza , , , akkor Pitagorasz tétele szerint: , , . Ebből az egyenletrendszerből: , , . Ezek az élhosszak most éppen megegyeznek a tetraéder szemközti éleinek felezőpontjait összekötő szakaszok hosszával.
|