Kezdőlap


Feladat:	B.3390	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Szekeres Balázs
Füzet:	2001/március, 156 - 157. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Tetraéder súlyvonala, súlypontja, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/szeptember: B.3390

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a feltételnek megfelelő tetraéder $D E G H$ . Legyen $F_{1}$ , $F_{2}$ , $F_{3}$ , $F_{4}$ , $F_{5}$ és $F_{6}$ rendre a $D H$ , $D E$ , $E G$ , $G H$ , $E H$ és $D G$ élek felezőpontja. Az $E$ csúcsban találkozó élek 5, $\sqrt[]{34}$ és $\sqrt[]{41}$ hosszúak, legyen pl. $E D = 5$ , $E H = \sqrt[]{41}$ és $E G = \sqrt[]{34}$ . Ha $D G = 5$ lenne, akkor a $D$ csúcsból két darab 5 hosszúságú él lépne ki, és hasonlóan, ha $D G = \sqrt[]{34}$ lenne, akkor a $G$ csúcsban találkozó élek közül lenne kettő $\sqrt[]{34}$ ; így $D G = \sqrt[]{41}$ , és $D E = 5$ és $D G = \sqrt[]{41}$ , miatt $D H = \sqrt[]{34}$ . Mivel $G E = \sqrt[]{34}$ és $G D = \sqrt[]{41}$ , ezért $G H = 5$ .
Felhasználjuk, hogy egy tetszőleges háromszögben $s_{a}^{2} = \frac{2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}}{4}$ , ahol a háromszög oldalai $a$ , $b$ és $c$ , az $a$ -hoz tartozó súlyvonal pedig $s_{a}$ . (Ez az állítás lényegében a Geometriai feladatok gyűjteménye II. 289. feladatának következménye.)
$F_{1} E$ a $D E H$ háromszög súlyvonala, így $F_{1} E^{2} = \frac{2 D E^{2} + 2 H E^{2} - D H^{2}}{4} = 24,5$ .
$F_{1} G$ a $D G H$ háromszög súlyvonala, így $F_{1} G^{2} = \frac{2 D G^{2} + 2 G H^{2} - D H^{2}}{4} = 24,5$ .
$F_{1} F_{3}$ az $E F_{1} G$ háromszög súlyvonala, így $F_{1} F_{3}^{2} = \frac{2 F_{1} E^{2} + 2 F_{1} G^{2} - E G^{2}}{4} = 16$ , ezért $F_{1} F_{3} = 4$ .
Hasonlóan kapjuk a $H E G$ háromszögben: $F_{4} E_{2} = 31,25$ , a $D G H$ háromszögben: $F_{4} D_{2} = 31,25$ , a $D F_{4} E$ háromszögben: $F_{2} F_{4} = 5$ , továbbá a $D E H$ háromszögben: $F_{5} D_{2} = 19,25$ , a $H G E$ háromszögben: $F_{5} G_{2} = 19,25$ , a $D F_{5} G$ háromszögben $F_{5} F_{6} = 3$ .
A tetraéder szemközti éleinek felezőpontjait összekötő szakaszok hossza rendre 3, 4 és 5; mégpedig úgy, hogy a $\sqrt[]{41}$ hosszú élek felezőpontjait a 3, a $\sqrt[]{34}$ hosszú élek felezőpontjait a 4, az 5 hosszúságú élek felezőpontjait az 5 hosszú szakasz köti össze.

Szekeres Balázs (Szolnok, Verseghy Ferenc Gimn., 10. o.t.)

Megjegyzés. Megmutatható, hogy a feladatban szereplő tetraéder bennfoglaló paralelepipedonja téglatest. Ha a téglatest éleinek hossza

a

b

c

, akkor Pitagorasz tétele szerint:

a^{2} + b^{2} = 25

b^{2} + c^{2} = 41

c^{2} + a^{2} = 34

. Ebből az egyenletrendszerből:

a = 3

b = 4

c = 5

. Ezek az élhosszak most éppen megegyeznek a tetraéder szemközti éleinek felezőpontjait összekötő szakaszok hosszával.