A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen , , , ekkor , legyen továbbá és (1. ábra). Be kell látnunk, hogy . Mivel és a koszinuszfüggvény és között monoton csökkenő, így az eredetivel ekvivalens a egyenlőség. Ezt fogjuk igazolni. Írjuk fel a koszinusztételt az háromszögben az szögre, majd az háromszögben az , illetve szögekre: | | Fejezzük ki (1)-ből -t: ; helyettesítsük be (2)-be: | | ezt helyettesítsük (3)-ba, és fejezzük ki -t: | | Lássuk be, hogy , azaz | | ami valóban azonosság.
Béky Bence (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 11. o.t.) |
Megjegyzések. 1. A beküldők többsége hasonló módon, általában bonyolultabb számolással oldotta meg a feladatot. Azonban ha valaki szinusztételt használt, akkor önmagában nem volt elég a egyenlőséget belátni, hiszen a intervallumon a szinuszfüggvény nem kölcsönösen egyértelmű. 2. Lényegesen egyszerűbb a megoldás, ha abból kiindulva, hogy , rajzolunk körül egy sugarú kört. Ha ez a kör az -t -ben, -t pedig -ben metszi, akkor a 2. ábra jelöléseivel , . Írjuk fel a pontnak a körre vonatkozó hatványát kétféleképpen: | | ahonnan .
Mivel , így , tehát a háromszög egyenlő szárú, . E háromszög csúcsánál külső szög, így valóban .
|