Kezdőlap


Feladat:	B.3383	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Varga Noémi
Füzet:	2001/március, 152 - 153. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Súlyvonal, Számtani közép, Kvadratikus közép, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/szeptember: B.3383

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ábra jelölései alapján az $A B C$ derékszögű háromszögben Pitagorasz tétele szerint $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Alkalmazzuk Pitagorasz tételét az $A F_{a} C$ és a $B F_{B} C$ derékszögű háromszögekre:

\begin{matrix} s_{a}^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + b^{2} és s_{b}^{2} = {(\frac{b}{2})}^{2} + a^{2} . \end{matrix}

Thalész tétele miatt

s_{c} = \frac{c}{2} = \sqrt[]{\frac{a^{2} + b^{2}}{4}}

, így

\begin{matrix} \frac{s_{a} + s_{b}}{s_{c}} = \frac{\sqrt[]{\frac{a^{2}}{4} + b^{2}} + \sqrt[]{\frac{b^{2}}{4} + a^{2}}}{\sqrt[]{\frac{a^{2} + b^{2}}{4}}} = \sqrt[]{\frac{a^{2} + 4 b^{2}}{a^{2} + b^{2}}} + \sqrt[]{\frac{4 a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}}} \leq 2 \cdot \sqrt[]{\frac{\frac{a^{2} + 4 b^{2}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{4 a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}}}{2}}, \end{matrix}

alkalmazva a számtani és a négyzetes közép közötti összefüggést a pozitív

\sqrt[]{\frac{a^{2} + 4 b^{2}}{a^{2} + b^{2}}}

és

\sqrt[]{\frac{4 a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}}}

számokra. Oszthatunk

a^{2} + b^{2} > 0

-val, így

\begin{matrix} \frac{s_{a} + s_{b}}{s_{c}} \leq 2 \cdot \sqrt[]{\frac{5}{2}} = \sqrt[]{10} . \end{matrix}

Egyenlőség akkor áll fenn, ha

a^{2} + 4 b^{2} = 4 a^{2} + b^{2}

, azaz esetünkben, ha a derékszögű háromszög egyenlő szárú,

a = b

. Tehát a kifejezés maximuma

\sqrt[]{10}

Varga Noémi (Budapest, Szent István Gimn., 10. o.t.)

Megjegyzés. Gyakori hibák:
1. Az alkalmazott tételeket többen a megoldás leírásakor még csak meg sem említették.
2. Néhányan nem a maximumot, csak a maximum helyét adták meg.
3. Akik a szélsőértékfeladatot differenciálszámítással akarták megoldani, sokszor csak azt állapították meg, hogy a kifejezés (első) deriváltja 0, ez azonban még nem biztosítja, hogy ezen a helyen szélsőérték van!