Kezdőlap


Feladat:	3349. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Coc Károly , Fábián Ákos , Horváth Balázs , Horváth György , Jurányi Zsófia , Nagy Ádám , Nagy Dávid , Raffai Péter
Füzet:	2001/február, 120 - 121. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szupravezetés, Kölcsönös indukció, Mágneses fluxus, Önindukció, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/május: 3349. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A két gyűrű egyforma, ezért az önindukciós együtthatójuk ugyanakkora, $L$ . A kölcsönös indukciós együtthatók mindig egyenlőek (lásd az erről szóló cikket lapunk 110. oldalán), jelöljük ezt $M$ -mel! Ez az érték a gyűrűk helyzetével és távolságával változik, amíg a gyűrűk egymástól nagyon messze vannak, addig $M = 0$ , azok közelítésével viszont $M$ megnő. Az áramokat $I_{A}$ -val és $I_{B}$ -vel jelölve az egyes gyűrűk által körülvett fluxusra (amelyek az áramerősségek és a megfelelő indukciós együtthatók szorzataként állnak elő) minden pillanatban fennáll, hogy

\begin{matrix} \begin{matrix} Φ_{A} & = L I_{A} + M I_{B} = L I_{0}, & (1) \\ Φ_{B} & = M I_{A} + L I_{B} = 0. & (2) \end{matrix} \end{matrix}

M

-et kiküszöbölve az

\begin{matrix} I_{A}^{2} - I_{0} I_{A} - I_{B}^{2} = 0 \end{matrix}

(3)

egyenlet adódik, amelynek a megoldása

I_{B} = I_{1}

mellett

I_{A}

-ra

\begin{matrix} I_{A} = \frac{I_{0} \pm \sqrt[]{I_{0}^{2} + 4 I_{1}^{2}}}{2} . \end{matrix}

A két megoldás közül a gyök felső (pozitív) előjelhez tartozó a helyes, hiszen a két gyűrű távoli telyzeténél (

I_{1} = 0

esetén) a feladat szövege szerint

I_{A} = I_{0}

. Így tehát az

A

tekercs árama a kérdéses helyzetben

\begin{matrix} I_{A} = \frac{I_{0} + \sqrt[]{I_{0}^{2} + 4 I_{1}^{2}}}{2} . \end{matrix}

Több megoldás alapján

Megjegyzés. A másodfokú egyenlet 2 megoldásából úgy is kiválaszthatjuk a fizikailag megfelelőt, hogy (3) helyett a

x = I_{A} / I_{B}

áramarányra írunk fel egyenletet:

\begin{matrix} x^{2} - a x - 1 = 0, \end{matrix}

(4)

ahol

a = I_{0} / I_{B}

. Ezen egyenlet két gyökének szorzata

- 1

, az egyik gyök abszolút tehát biztosan kisebb, mint 1. Ez azonban nem lehet a fizikailag helyes gyök, hiszen (2) szerint

\begin{matrix} | x | = | \frac{I_{A}}{I_{B}} | = | \frac{L}{M} |, \end{matrix}

ez a szám pedig ‐ az idézett cikkben levezetett

M \leq \sqrt[]{L_{1} L_{2}} = L

egyenlőtlenség miatt ‐ biztosan legalább

1

(G. P.)