A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyen a oldal felezőpontja, ekkor az háromszög súlyvonala. Legyen , ahol és . Mivel a és az háromszögek területe egyenlő, igaz a következő: | | , tehát . Esetünkben a súlyvonal a szöget arányban osztja, így két eset lehetséges: a) vagy b) . Az a) esetben , és mivel , így , tehát . A b) esetben , és mivel most , így . Az oldal hossza tehát és 2 között lehet, de nem veheti fel az 1 értéket.
Raikovich Tamás (Győr, Czuczor G. Bencés Gimn., 10. o.t.) |
II. megoldás. Megjegyzés. Ez a megoldás nem használ szögfüggvényeket, csak a háromszög-egyenlőtlenséget, ezért érdemes megismerni.
Tekintsük az háromszög két csúcsát, -t és -t, valamint az -nál levő szögét adottnak. Nevezzük -nek az egyenesét: a háromszög csúcspontja valahol ezen az egyenesen van. Mivel , így . A 2. ábra jelölései szerint a háromszögnek vagy , vagy a súlyvonala. Tükrözzük -t -re és -re, legyenek a tükörképek , illetve . Ekkor , és nyilván rajta van -n. Húzzunk -en keresztül párhuzamost -gyel és -n keresztül párhuzamost -vel; ezek metszéspontjai -vel , illetve . Azt állítjuk, hogy ha az háromszög súlyvonala , akkor , ha pedig , akkor . Valóban, felezi a , pedig a szakaszt. vagy mindig egyértelműen adódik mint és az -gyel, illetve -vel párhuzamos egyenesek egyetlen metszéspontja: , és ugyanis nem párhuzamosak. Mivel , így a , tehát az háromszög egyenlő szárú; hasonlóan, az -re vonatkozó szimmetria miatt , és miatt , így az háromszög is egyenlő szárú. Az háromszögben a háromszög-egyenlőtlenség miatt, tehát . Mivel () és a nagyobb szög nagyobb oldallal szemben van, így . Azt kaptuk, hogy . Az háromszögben a háromszög-egyenlőtlenség miatt, és , így mivel nagyobb oldallal szemben kell hogy legyen a nagyobb szög, , tehát . Tehát az oldal hossza az egyik esetben és 1, a második esetben 1 és 2 közé esik, és itt bármilyen értéket felvehet, hiszen minden ilyen értékhez megszerkeszthető vagy az , vagy az háromszög. (Vigyázat, !)
Takács Gergő (Tatabánya, Árpád Gimn. és Pedagógiai Szki., 10. o.t.) dolgozata alapján |
|
|