Kezdőlap


Feladat:	C.594	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Ásványi Katalin
Füzet:	2001/február, 93 - 94. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trapézok, Terület, felszín, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/szeptember: C.594

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A húrtrapéz olyan trapéz, amelynek oldalai a körnek húrjai, s mivel a húrnégyszög szemközti szögeinek összege $180^{\circ}$ , ebből következik, hogy a trapéz egyenlő szárú.
Legyen a trapéz nagyobbik alapja $A B = a$ , a kisebbik $D C = c$ , szárai pedig $A D = B C = b$ (1. ábra).
A feltétel szerint:

\begin{matrix} d = 2 b + c . \end{matrix}

(1)

A trapéz területe:

T = \frac{a + c}{2} \cdot m

. Pitagorasz tétele szerint:

\begin{matrix} m = \sqrt[]{b^{2} - {(\frac{a - c}{2})}^{2}} . \end{matrix}

(1)-ből

b = \frac{d - c}{2}

; ezeket behelyettesítve

\begin{matrix} T = \frac{a + c}{2} \sqrt[]{{(\frac{d - c}{2})}^{2} - {(\frac{a - c}{2})}^{2}} . \end{matrix}

Alakítsuk át a kifejezést, használjuk fel az ismert

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

azonosságot:

\begin{matrix} T = \frac{a + c}{4} \sqrt[]{(d + a - 2 c) (d - a)} . \end{matrix}

(d - a)

értéke állandó, ez nem befolyásolja a maximum értéket;

d + a = k

a trapéz kerülete. Tovább alakítva a kifejezést kapjuk, hogy

\begin{matrix} T = \frac{1}{4} \sqrt[]{d - a} \sqrt[]{(a + c) (a + c) (k - 2 c)} . \end{matrix}

A második gyökjel alatt mindegyik tényező pozitív, a háromtényezős szorzatra felírhatjuk a számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} \begin{matrix} \sqrt[3]{(a + c) (a + c) (k - 2 c)} \leq \\ \leq \frac{(a + c) + (a + c) + (k + 2 c)}{3} = \frac{k + 2 a}{3} . \end{matrix} \end{matrix}

A szorzat akkor maximális, ha a tényezők egyenlők, azaz

a + c = k - 2 c = d + a - 2 c

, ahonnan

3 c = d

, illetve

c = \frac{d}{3}

és

b = \frac{d - c}{2} = \frac{d}{3}

, vagyis a szárak és a rövidebbik alap hossza egyenlő.
Ilyen trapéz akkor létezik, ha

d > a

(2. ábra).
A kétíves szögek egyenlők, mert egyenlő hosszúságú húrokhoz tartoznak, így

A B