A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A húrtrapéz olyan trapéz, amelynek oldalai a körnek húrjai, s mivel a húrnégyszög szemközti szögeinek összege , ebből következik, hogy a trapéz egyenlő szárú. Legyen a trapéz nagyobbik alapja , a kisebbik , szárai pedig (1. ábra). A feltétel szerint: A trapéz területe: . Pitagorasz tétele szerint: (1)-ből ; ezeket behelyettesítve Alakítsuk át a kifejezést, használjuk fel az ismert azonosságot: A értéke állandó, ez nem befolyásolja a maximum értéket; a trapéz kerülete. Tovább alakítva a kifejezést kapjuk, hogy A második gyökjel alatt mindegyik tényező pozitív, a háromtényezős szorzatra felírhatjuk a számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenséget: | | A szorzat akkor maximális, ha a tényezők egyenlők, azaz , ahonnan , illetve és , vagyis a szárak és a rövidebbik alap hossza egyenlő. Ilyen trapéz akkor létezik, ha (2. ábra). A kétíves szögek egyenlők, mert egyenlő hosszúságú húrokhoz tartoznak, így , vagyis a négyszög valóban trapéz.
Ásványi Katalin (Ajka, Bródy I. Gimn., 11. o.t.) |
Megjegyzések. 1. A feladatot, mint szélsőérték-feladatot, deriválással is meg lehet oldani (lásd az internetes megoldásvázlatot). 2. A szokásosnál több 0 pontos dolgozat oka az alábbi: Többen a következő hibás következtetéseket írták le: a) ,,Mivel a négyszög kerülete adott, és adott kerületű négyszögek közül a négyzetnek a területe a legnagyobb, ezért a négyszög négyzet.'' Ez a gondolat hibás, ugyanis nem csak a négyszög kerülete adott, hanem egyik oldala is, ezért (a esetet kivéve) a trapéz semmiképpen nem lehet négyzet. b) ,,A húrtrapézt a hosszabbik párhuzamos oldalára tükrözve hatszöget kapunk. Adott kerület esetén a szabályos hatszög területe a legnagyobb, ezért a húrtrapéz 3 oldala egyenlő, és -mal egyenlő.'' Ez a hiba hasonló az előzőhöz: a kapott húrtrapéznak a kerületén kívül egyik átlója is előre megszabott, így erre az általános szélsőérték-feladatra sem hivatkozhatunk. c) Voltak, akik a területet két egymástól nem független tag összegére bontották, és külön-külön keresték a maximumot, s ebből próbálták meghatározni a közös maximumot.
|