Feladat: C.591 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Blaskó Ján 
Füzet: 2001/február, 92 - 93. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2000/szeptember: C.591

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a gondolt számok x1≤x2≤x3≤x4≤x5. Ha valamennyi kéttagú összeget összeadjuk, azt kapjuk, hogy

4(x1+x2+x3+x4+x5)=90,
azaz a számok összege
x1+x2+x3+x4+x5=452.(1)
A számok rendezése miatt x1+x2=6 a legkisebb összeg, és
x4+x5=12(2)
a legnagyobb. (1)-gyel összevetve adódik, hogy
x3=452-(x1+x2)-(x4+x5)=92.
Mivel x3+x4≤x3+x5≤x4+x5, ezért az utolsó előtti legnagyobb összeg x3+x5=11, innen, mivel x3=92, az x5=132, (2)-ből pedig x4=12-132=112.
Végül x1+x2=6 és x1+x3=7 a következő legkisebb összeg, ahonnan
x1=7-x3=7-92=52ésx2=6-52=72.
A gondolt számok tehát nagyság szerint: 52, 72, 92, 112 és 132.
Könnyen ellenőrizhetjük, hogy valamennyi felsorolt kéttagú összeg előfordul, hiszen
x1+x2=6,x1+x3=7,x1+x4=8,x1+x5=9,x2+x3=8,x2+x4=9,x2+x5=10,x3+x4=10,x3+x5=11ésx4+x5=12.

 Blaskó Ján (Budapest, Szlovák Gimn., 10. o.t.)