Feladat:	3318. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Hegedűs Ákos ,  Lábó Melinda
Füzet:	2001/január, 54 - 56. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Matematikai inga, Egyéb kényszermozgás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/február: 3318. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. $a)$ A test egy $l$ sugarú köríven leng (1. ábra), lengésideje $\begin{array}{c}{\displaystyle T=2\pi \sqrt[]{\frac{l}{g}}\mathrm{,}\text{ahol}l=\frac{\sqrt[]{L^2-D^2}}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ $b)$ A test egy $2a=L$ nagytengelyű, $2b=2l$ kistengelyű ellipszispályán mozog. Kis kitérések esetén mozgása olyan, mint egy $R$ hosszúságú inga lengése, ha $R=a^2/b$ az ellipszishez a legalsó pontjához tartozó simulókör sugara (2. ábra). Ennek megfelelően a lengésidő: $\begin{array}{c}{\displaystyle T=2\pi \sqrt[]{\frac{R}{g}}\mathrm{,}\text{ahol}R=\frac{{\left(L/2\right)}^2}{l}=\frac{{\left(L/2\right)}^2}{\sqrt[]{{\left(L/2\right)}^2-{\left(D/2\right)}^2}}\mathrm{.}}\end{array}$  Lábó Melinda (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 12.o.t.) dolgozata alapján   II. megoldás Vizsgáljuk meg, mennyit nő az $m$ tömegű gyöngyszem gravitációs helyzeti energiája, ha a gyöngyöt az egyensúlyi helyzetéből kicsiny $x$ távolságra kimozdítjuk. Amennyiben ez a növekedés (közelítőleg) $\begin{array}{c}{\displaystyle E\left(x\right)\approx \frac{1}{2}D{x}^2}\end{array}$ alakba írható, akkor ‐ egy rugó végén harmonikus rezgőmozgást végző testtel való formai analógia miatt ‐ állíthatjuk, hogy a gyöngyszem mozgásának periódusideje $\begin{array}{c}{\displaystyle T=2\pi \sqrt[]{\frac{m}{D}}}\end{array}$ lesz. $a)$ A fonál síkjára merőleges irányban kitérítve a gyöngyöt, az egy $l=\frac{1}{2}\sqrt[]{L^2-D^2}$ sugarú körív mentén mozog, függőleges irányban az emelkedése $\begin{array}{c}{\displaystyle l-\sqrt[]{l^2-x^2}\approx l-l\left(1-\frac{x^2}{2l^2}\right)=\frac{x^2}{2l}\mathrm{,}}\end{array}$ a helyzeti energia változása tehát $\frac{1}{2}mg{x}^2/l$. Ezek szerint a ,,rugóállandó'' $D=mg/l\mathrm{,}$ a periódusidő pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle T=2\pi \sqrt[]{\frac{\sqrt[]{L^2-D^2}}{2g}}\mathrm{.}}\end{array}$ Kihasználtuk, hogy egy 1-hez közeli szám négyzetgyöke $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{1+\epsilon }\approx \sqrt[]{1+\epsilon +\frac{{\epsilon }^2}{4}}=1+\frac{\epsilon }{2}\mathrm{.}}\end{array}$ (1) $b)$ A fonál síkjában kitérítve a gyöngyöt az egy ellipszispályán mozog, melynek egyenlete (lásd a 3. ábrát): $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x^2}{{\left(L/2\right)}^2}+\frac{y^2}{{\left(L/2\right)}^2-{\left(D/2\right)}^2}=\mathrm{1,}}\end{array}$ azaz ismét az (1) közelítést alkalmazva: $\begin{array}{c}{\displaystyle y\left(x\right)=-\frac{1}{2}\sqrt[]{\left(L^2-D^2\right)\left(1-\frac{4x^2}{L^2}\right)}\approx -\frac{1}{2}\sqrt[]{L^2-D^2}\left(1-\frac{2x^2}{L^2}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Látható, hogy a gyöngyszem energiaváltozása $\begin{array}{c}{\displaystyle E=mg\left[y\left(x\right)-y\left(0\right)\right]\approx mg\frac{\sqrt[]{\left(L^2-D^2\right)}}{L^2}\cdot x^2\mathrm{,}}\end{array}$ a rugóállandó tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle D=2mg\frac{\sqrt[]{\left(L^2-D^2\right)}}{L^2}\mathrm{,}}\end{array}$ a rezgésidő pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle T=2\pi \sqrt[]{\frac{L^2}{2g\sqrt[]{L^2-D^2}}}\mathrm{.}}\end{array}$  Hegedűs Ákos (Pécs, Ciszterci Nagy Lajos Gimn., 12 .o.t.)