Feladat:	B.3365	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Papp Dávid
Füzet:	2000/december, 535 - 536. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/április: B.3365

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. A második egyenlőség mindkét oldalát megszorozzuk $abc=1$-gyel: $\begin{array}{c}{\displaystyle a+b+c=bc+ac+ab\mathrm{.}}\end{array}$ Mindkét oldalhoz hozzáadhatunk $0=\left(1-abc\right)$-t: $\begin{array}{c}{\displaystyle a+b+c=1+bc+ac+ab-abc\mathrm{.}}\end{array}$ Rendezéssel: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 0}& {\displaystyle =1-a-b-c+bc+ac+ab-abc\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 0}& {\displaystyle =\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Mivel a szorzat valamelyik tényezője 0,  $a$, $b$, $c$ valamelyike 1.   II. megoldás. A második egyenletet $abc=1$-gyel szorozva $a+b+c=ab+bc+ca$ adódik. Ezt a közös értéket $u$-val jelölve, az $a$, $b$, $c$ számok mindegyike gyöke az $f\left(x\right)=x^3-u{x}^2+ux-1=0$ egyenletnek, sőt az egyenletnek nincs is más gyöke, hiszen $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)=x^3-u{x}^2+ux-1.}\end{array}$ Mivel $f\left(1\right)=1-u+u-1=0$, azért az $a$, $b$, $c$ valamelyike valóban 1.  Papp Dávid (Budapest, Szent István Gimn., 12. o.t.)