Kezdőlap


Feladat:	A.243	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ambrus Gergely , Bartha Ferenc , Csikvári Péter , Csóka Endre , Garab Ábel , Gerencsér Balázs , Hablicsek Márton , Harangi Viktor , Koch Dénes , Pach Péter Pál , Szalai Attila , Varjú Péter , Vígh Viktor , Vörös László
Füzet:	2001/január, 36. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/szeptember: A.243

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A jobb oldalon egyszerűsítve és mindkét oldalból $1$ -et kivonva,

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{p^{2 n + 1} - 1}{p - 1} - 1 & = (q^{2} + q + 1) - 1 \\ p^{2 n + 1} - p & = (p - 1) (q^{2} + q) \\ p (p^{n} - 1) (p^{n} + 1) & = (p - 1) q (q + 1) . & (2) \end{matrix} \end{matrix}

A bal oldalon valamelyik tényező osztható a jobb oldalon szereplő

q

prímszámmal; ez a tényező legalább

q

. Mivel a legnagyobb tényező a

p^{n} + 1

p^{n} + 1 \geq q

minden esetben teljesül. Ezt a becslést alkalmazzuk (2) jobb oldalán:

\begin{matrix} \begin{matrix} p (p^{n} - 1) (p^{n} + 1) & \leq (p - 1) (p^{n} + 1) (p^{n} + 2) \\ p \cdot (p^{n} - 1) & \leq (p - 1) (p^{n} + 2) \\ p^{n} + 2 & \leq 3 p . & (3) \end{matrix} \end{matrix}

p

vagy

n

legalább

3

, akkor

p^{n} = p^{n - 1} \cdot p \geq 3 p

, vagyis (3) nem teljesülhet. Tehát csak

p = n = 2

lehetséges. Ezt behelyettesítve (2)-be

q (q + 1) = 30

, azaz

q = 5

.
A feladat egyetlen megoldása tehát

p = 2

q = 5

és

n = 2

Csóka Endre (Debrecen, Fazekas M. Gimn., 10. o.) dolgozata alapján