Ismert, hogy ha egy ellipszis $e$ érintőjén lévő $E$ érintési pontot összekötjük az ellipszis $F_1$ és $F_2$ fókuszaival, akkor az így kapott vezérsugarak külső szögfelezője az $e$ érintő (1. ábra). Ebből következik, hogy ha az $F_2$ fókuszt tükrözzük az ellipszis összes érintőjére, akkor a tükörképek halmaza az $F_1$ köré írt $2a$ sugarú kör lesz ‐ $2a$ az ellipszis nagytengelyének hosszát jelöli ‐, mert ha $F_2\text{'}$ az $e$-re vonatkozó tükörkép, akkor $F_2\text{'}{F}_1=F_2\text{'}E+E{F}_1=F_{2}E+F_{1}E=2a$, hiszen a szögek egyenlősége miatt az $F_2\text{'}$, $E$ és $F_1$ pontok egy egyenesen vannak, a tükrözés miatt pedig $F_2\text{'}E=F_{2}E$. (Ezeknek az állításoknak a részletes bizonyítása megtalálható pl. Hajós György: Bevezetés a geometriába című könyvének 42.1 és 42.2 tételeinél.)
Jelöljük a feladatban szereplő két ellipszis közös fókuszát $F_2$-vel, másik fókuszaikat $F_1$-gyel, illetve $F_3$-mal, nagytengelyeik hosszát pedig $2a_1$-gyel, illetve $2a_3$-mal. Az előzőek szerint, ha $F_2$-t a két ellipszis egy közös érintőjére tükrözzük, akkor a kapott $F_2\text{'}$ pont rajta lesz az $F_1$ körüli $2a_1$ sugarú és az $F_3$ körüli $2a_3$ sugarú körön is. Ha a két kör nem esik egybe (azaz ha a két ellipszis különböző), akkor legfeljebb két metszéspontjuk van, tehát a két ellipszisnek legfeljebb két közös érintője lehet. Ha $P$ a két kör egy közös pontja, akkor a $P{F}_2$ szakasz felező merőlegese mindkét ellipszisnek érintője (2. ábra). Mivel két különböző kör közös pontjainak száma 0, 1 vagy 2, azért ha két ellipszisnek közös az egyik fókusza, de az ellipszisek különbözők, akkor közös érintőik száma 0, 1 vagy 2 lehet, s mindhárom eset elő is fordul (3. ábra).