A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A bal oldal harmadik és negyedik tagja így alakítható át: Vonjuk le ezután a bal oldal egyes tagjaiból a jobb oldal megfelelő tagját, így a különbség szorzattá alakítható:
Itt mind a három tényező pozitív, mivel egy háromszög két oldalának az összege nagyobb a harmadiknál. Ezzel a feladat állítását igazoltuk.
Megjegyzések. 1. A feladat állítása így is fogalmazható: az egyenlőtlenség teljesülése szükséges feltétele annak, hogy , , hosszúságú szakaszokból háromszöget lehessen szerkeszteni. Könnyen látható, hogy pozitív , , számokra szorítkozva a feltétel elégséges is. Valóban, ha az egyenlőtlenség teljesül, akkor az átalakítással nyert szorzat pozitív, tehát vagy mind a három tényező pozitív, vagy kettő negatív, egy pozitív. Az első esetben létezik , , oldalú háromszög. Ha viszont pl. az első két tényező negatív volna, akkor az összegük, is, holott pozitív. Ez tehát nem lehetséges. 2. Ha a háromszög egy szakaszt lefedő két szakasszá fajul el, akkor a két oldal egyenlővé válik.
II. megoldás. A két oldal különbsége tagokra bontás után így alakítható át: | | (1) | Ez, a háromszög , , -vel szemközti szögeit, mint szokás, , , -val jelölve, a cosinustétel alapján így alakítható tovább: Itt, felhasználva, hogy , továbbá a könnyen igazolható
összefüggéseket
Ez a kifejezés nagyobb, mint , mert , , hegyes szögek, s így sinusaik pozitívok. Ezzel a feladat állítását igazoltuk.
Megjegyzés. Ha -ben helyett -t írunk, a kifejezés már nem lesz pozitív. Ez volt az 1964. évi VI. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia . feladata. Az állítás tetszés szerinti pozitív , , számokra helyes marad, sőt míndkét oldalhoz -t adva a szimmetrikusabb | | alak általánosítható a következő módon: Ha nem-negatív számok, akkor
Ez viszont az 1968. évi Schweitzer Miklós matematikai emlékverseny (egyetemi hallgatók versenye) . feladata volt. Lásd pl.: Hack Frigyes: Függvénytáblázatok ‐ Matematikai összefüggések, Tankönyvkiadó, Budapest, 1967. 75. old.Lásd a feladat megoldását K.M.L. 31 (1965), 24‐25. old.Lásd Matematikai Lapok 20 (1969), 150‐154. old. |