Kezdőlap


Feladat:	2674. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Németh Ákos , Nyúl László
Füzet:	1993/január, 44 - 45. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Barometrikus magasságformula, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/szeptember: 2674. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ideális gázok $p V = N k T$ állapotegyenletét az $ε = N / V$ jelöléssel ( $ε$ az egységnyi térfogatban található részecskék átlagos száma)

\begin{matrix} ε = \frac{p}{k T} \end{matrix}

(1)

alakban is felírhatjuk. Másrészt a barometrikus magasságformula szerint állandó hőmérsékleten, homogén gravitációs térben a részecskeszám-sűrűség exponenciálisan változik:

\begin{matrix} ε (h) = ε (0) \cdot e^{- \frac{m g h}{k T}}, \end{matrix}

(2)

ahol

m

a gázrészecskék tömege. A fenti két egyenlet összevetéséből az látszik, hogy ha elhanyagoljuk a hőmérséklet és a gravitációs erők nagyságának változását, akkor a gáz nyomása a magasság exponenciálisan csökkenő függvénye, összhangban a feladat szövegében szereplő feltételezéssel. A (2) egyenlet szerint a csökkenés üteme az

m

részecsketömegtől is függ; leggyorsabban a nagyobb móltömegű gázrészecskék (nitrogén, oxigén) száma csökken, a könnyű hidrogéné pedig sokkal lassabban.
Az (1) egyenletet a Föld felszínének közelében levő gázra alkalmazva

\begin{matrix} ε_{föld} = \frac{p_{0}}{k T_{0}} \approx \frac{10^{5} Pa}{1,38 \cdot 10^{- 23} (J/K) \cdot 300 K} = 2,5 \cdot 10^{25} \frac{1}{m^{3}}, \end{matrix}

az űrben pedig a megadott számérték:

\begin{matrix} ε_{űr} = 10^{6} \frac{1}{m^{3}} . \end{matrix}

A nyomás megadott csökkenési ütemét (1)-gyel összevetve

\begin{matrix} \frac{ε_{űr}}{ε_{föld}} = \frac{p_{űr}}{p_{föld}} = 2^{- \frac{h}{5500 m},} \end{matrix}

\begin{matrix} a h o n n a n a v i l á g ű r,, k e z d e t é n e k'' t á v o l s á g á r a \end{matrix}

h=5500m⋅log2(εűr/εföld)≈355km

\begin{matrix} a d ó d i k . \end{matrix}

Megjegyzések. 1. A napszél miatt a részecskesűrűség még jóval a légkörhatáron túl is nagyobb, mint 1 db/cm

^{3}

Nyúl László (Kecskemét, Katona J. Gimn., III. o. t.)

2. A megoldásban szereplő néhányszáz km-es magasságban a tényleges hőmérséklet lényegesen eltér a felszínen mérhetőtől, emiatt az (1) egyenletet, illetve a barometrikus magasságformula módosított alakját kell használnunk. A mérések szerint 300 km magasan a hőmérséklet 1360 K, 20 km magasságban viszont mindössze 220 K.

Németh Ákos (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o. t.)

3. Sokan feltételezték, hogy a gáz tömegsűrűsége állandó hőmérsékleten a nyomással egyenesen arányos, vagyis

p_{űr} / ϱ_{űr} = p_{felszíni} / ϱ_{felszíni}

. Ez azonban nem igaz, hiszen a levegő gázkeverék, az átlagos móltömege az összetétel változása miatt különböző magasságokban különböző. Ugyancsak indokolatlan a gázrészecskék átlagos mozgási energiájával számolni, ez a szabadsági fokok számának módosulása miatt nem ugyanakkora a földfelszínen, mint nagy magasságban.

4. A gravitációs erőtér nagyságának változását néhányszáz km-es magasságokig jó közelítéssel elhanyagolhatjuk.