Feladat:	B.3327	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dénes Attila ,  Nyul Balázs
Füzet:	2000/október, 410 - 411. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egész együtthatós polinomok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/december: B.3327

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Számítsuk ki $\text{cos}{18}^{\circ }$ értékét: tekintsük az $ABC$ egyenlő szárú háromszöget, amelyben a szárak hossza 1, közbezárt szögük ${36}^{\circ }$. A $B$-ből húzott szögfelező $AC$-t $D$-ben metszi. Ekkor az $ABC$ és $DAB$ háromszögek hasonlóak, így $CB:DB=AB:DA$, azaz $\frac{1}{a}=\frac{a}{1-a}$. Innen $a=\frac{\sqrt[]{5}-1}{2}$. A $C$-ből induló magasság felezi a ${36}^{\circ }$-os szöget és az $AB$ szakaszt is, így $\text{sin}{18}^{\circ }=\frac{a}{2}=\frac{\sqrt[]{5}-1}{4}$, $\text{cos}{18}^{\circ }=\sqrt[]{1-{\left(\frac{\sqrt[]{5}-1}{4}\right)}^2}=\frac{\sqrt[]{10+2\sqrt[]{5}}}{4}$. Legyen $\frac{\sqrt[]{10+2\sqrt[]{5}}}{4}=x$, ahol $x>0$. Ekkor $16x^2=10+2\sqrt[]{5}$, vagyis $\sqrt[]{5}=8x^2-5$. Ebből négyzetre emeléssel kapható: $64x^4-80x^2+20=0$. Osszunk 4-gyel, így a feladat kérésének megfelel a $16x^4-20x^2+5$ polinom.   II. megoldás. Legyen $\text{cos}{18}^{\circ }=x$ ($0<x<1$), ekkor $\text{sin}{18}^{\circ }=\sqrt[]{1-x^2}$. Ezek segítségével: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}{36}^{\circ }=2x\sqrt[]{1-x^2}\mathrm{,}\text{cos}{36}^{\circ }=x^2-\left(1-x^2\right)=2x^2-1.}\end{array}$ $\text{sin}{72}^{\circ }=4x\sqrt[]{1-x^2}\left(2x^2-1\right)$. Mivel $\text{cos}{18}^{\circ }=\text{sin}{72}^{\circ }$, azért $4x\sqrt[]{1-x^2}\left(2x^2-1\right)=x$. Az $x$-szel oszthatunk, hiszen nem 0.  Vagyis a feladat kérésének megfelel a $16\left(1-x^2\right){\left(2x^2-1\right)}^2-1=-64x^6+128x^4-80x^2+15$ polinom.  Dénes Attila (Békéscsaba, Rózsa F. Gimn., 12. o.t.)   Megjegyzések. 1. A II. megoldásban kapott $-64x^6+128x^4-80x^2+15$ polinom szorzat alakban így írható: $\left(3-4x^2\right)\left(16x^4-20x^2+5\right)$. A második tényező azonos az I. megoldásban megadott polinommal. 2. Nyul Balázs (Debrecen, Fazekas M. Gimn., 9. o.t.) abból indult ki, hogy $5\cdot {18}^{\circ }={90}^{\circ }$, így a $\text{cos}5\alpha =0$ egyenletet kellene felírni $\text{cos}\alpha$ hatványai segítségével, ahol most $\alpha ={18}^{\circ }$. $\text{cos}5\alpha$ a szögfüggvények addíciós tételeiből némi számolással kifejezhető: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}5\alpha =64\text{cos}{}^5\alpha -80\text{cos}{}^3\alpha +20\text{cos}\alpha \mathrm{,}}\end{array}$ így $\text{cos}{18}^{\circ }$ gyöke a $64x^5-80x^3+20x$ polinomnak. Ez mellesleg az I. megoldásban kapott polinom $4x$-szerese. Tetszőleges $n$ egész számhoz létezik $T_n$ egész együtthatós polinom, amelyre $T_n\left(\text{cos}\alpha \right)=\text{cos}n\alpha$. A $T_n$ polinomot az $n$-edik Csebisev-polinomnak hívják.