Kezdőlap


Feladat:	C.564	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hablicsek Márton
Füzet:	2000/október, 401 - 402. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Síkra vonatkozó tükrözés, Térfogat, Téglatest, Négyszög alapú gúlák, Háromszög alapú hasábok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/december: C.564

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megjegyzés. A feladatban szereplő ,,egyenes sátortető'' kifejezés (mint többen kifogásolták) sem matematikai, sem építészeti szempontból nem volt megfelelő. A beküldők túlnyomó többsége azért ugyanarra gondolt, amire a szerkesztőbizottság.
Jelöljük a $26 \times 8$ -as téglalap csúcsait $A$ , $B$ , $C$ és $D$ -vel, a sátortető 20 egységnyi élének végpontjait $E$ -vel és $F$ -fel, az ábra szerint. $E F$ vetülete a téglalap síkjára $E' F'$ .
A sátortető szimmetriájából következik,
hogy $E' F'$ a téglalap középvonalára esik, meghosszabbítása messe a $B C$ oldalt $G$ -ben!

Az $E' G B$ derékszögű háromszögben

\begin{matrix} \begin{matrix} E' G = \frac{26 - 20}{2} = 3, B G = 4, E B = \sqrt[]{4^{2} + 3^{2}} = 5; \\ E E' = \sqrt[]{E B^{2} - E' B^{2}} = \sqrt[]{13^{2} - 5^{2}} = 12, \end{matrix} \end{matrix}

ez a sátortető magassága. Fektessünk

E

-n és

F

-en keresztül a téglatest

20 \times 8

-as oldalával párhuzamos síkokat.
A síkokkal feldaraboltuk a sátortetőt egy 20 egység magasságú háromszög alapú hasábra és két egybevágó téglalap alapú gúlára. Ezek térfogatát könnyen felírhatjuk.
A hasáb térfogata:

\frac{8 \cdot 12}{2} \cdot 20 = 960

térfogategység. A két gúla együttes térfogata:

2 \cdot \frac{3 \cdot 8 \cdot 12}{3} = 192

. Az együttes térfogat:

1152

.
Ha tükrözzük a sátortetőket a téglalapokra ‐ mivel együttes magasságuk

24 > 20

nagyobb a téglatest élénél ‐, a két tükörképnek lesz közös része.
Határozzuk meg a közös rész térfogatát!
Ez egy olyan sátortető lesz, amelynek magassága 2 egység, az eredeti magasság

\frac{1}{6}

-a. A háromszög alapú hasáb alapterülete

\frac{1}{36}

-ára változott, míg magassága maradt 20 egység, vagyis térfogata az eredeti térfogat

\frac{1}{36}

részére csökkent.
A téglalap alapú gúla alapterülete

\frac{1}{36}

-ára csökkent, magassága

\frac{1}{6}

-ára, így térfogata az eredeti hasáb térfogatának

\frac{1}{216}

-a.
A téglatest térfogata:

26 \cdot 20 \cdot 8 = 4160

térfogategység.
A tükrözéskor fedésbe került részek térfogata:

2 \cdot \frac{96}{216} + \frac{960}{36} \approx 27,55

.
A keresett térfogat:

4160 - 2 \cdot (1152 - 27,55) \approx 1911,1

térfogategység.

Hablicsek Márton (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 8. o.t.)